Распределение Больцмана

Как мы рассмотрели ранее, микропараметры системы многих частиц являются случайными величинами и для определения их значений нужно знать функции распределения.

Существует различные функции распределения. В классической физике используется классическая статистика Максвелла-Больцмана, в которой движение частиц определяется законами Ньютона, частицы считаются различимыми.

Это распределение частиц по энергиям.

Пусть система состоит из Распределение Больцмана - №1 - открытая онлайн библиотека материальных точек. Для каждой 3 скорости и 3 координаты. Разобьем все координатное пространство и пространство скоростей на Распределение Больцмана - №2 - открытая онлайн библиотека участков и будем определять число частиц Распределение Больцмана - №3 - открытая онлайн библиотека координаты и скорости которых попали в Распределение Больцмана - №4 - открытая онлайн библиотека участок от Распределение Больцмана - №5 - открытая онлайн библиотека до Распределение Больцмана - №6 - открытая онлайн библиотека и от Распределение Больцмана - №7 - открытая онлайн библиотека до Распределение Больцмана - №8 - открытая онлайн библиотека . Энергия частиц Распределение Больцмана - №4 - открытая онлайн библиотека подгруппы:

Распределение Больцмана - №10 - открытая онлайн библиотека , где Распределение Больцмана - №11 - открытая онлайн библиотека - энергия 1 частицы группы.

Энергия всей системы Распределение Больцмана - №12 - открытая онлайн библиотека , где Распределение Больцмана - №13 - открытая онлайн библиотека

Определим статистический вес состояния из Распределение Больцмана - №2 - открытая онлайн библиотека групп по Распределение Больцмана - №3 - открытая онлайн библиотека частиц (число размещений). Математика (комбинаторика) дает формулу:

Распределение Больцмана - №16 - открытая онлайн библиотека , подставим это выражение в формулу Больцмана:

Распределение Больцмана - №17 - открытая онлайн библиотека .

Учтем формулу Стирлинга для вычисления факториала:

Распределение Больцмана - №18 - открытая онлайн библиотека при Распределение Больцмана - №19 - открытая онлайн библиотека

Распределение Больцмана - №20 - открытая онлайн библиотека

при Распределение Больцмана - №19 - открытая онлайн библиотека величиной Распределение Больцмана - №22 - открытая онлайн библиотека можно пренебречь.

Тогда Распределение Больцмана - №23 - открытая онлайн библиотека

У нас идеальный газ находится в фиксированном объеме. Запишем изменение энергии, связанное с тем, что меняется число частиц в Распределение Больцмана - №4 - открытая онлайн библиотека группе.

Основное ТД тождество для открытой системы Распределение Больцмана - №25 - открытая онлайн библиотека :

Распределение Больцмана - №26 - открытая онлайн библиотека

Распределение Больцмана - №27 - открытая онлайн библиотека , так как Распределение Больцмана - №28 - открытая онлайн библиотека , то

Распределение Больцмана - №29 - открытая онлайн библиотека

В нашем случае, изменение внутренней энергии частиц в группе и изменение числа частиц в группе связаны: Распределение Больцмана - №30 - открытая онлайн библиотека ; Распределение Больцмана - №31 - открытая онлайн библиотека , отсюда изменение энтропии, связанное с тем, что меняется число частиц в Распределение Больцмана - №4 - открытая онлайн библиотека группе:

Распределение Больцмана - №33 - открытая онлайн библиотека

Подставим полученное выражение в основное ТД тождество для открытой изохорической системы:

Распределение Больцмана - №34 - открытая онлайн библиотека сгруппируем

Распределение Больцмана - №35 - открытая онлайн библиотека отсюда

Распределение Больцмана - №36 - открытая онлайн библиотека . Теперь выразим отношение Распределение Больцмана - №37 - открытая онлайн библиотека :

Распределение Больцмана - №38 - открытая онлайн библиотека , Þ Распределение Больцмана - №39 - открытая онлайн библиотека

Распределение Больцмана - №40 - открытая онлайн библиотека , следовательно Распределение Больцмана - №41 - открытая онлайн библиотека

Распределение Больцмана - №42 - открытая онлайн библиотека , так как величина Распределение Больцмана - №43 - открытая онлайн библиотека , то можно ее обозначить Распределение Больцмана - №44 - открытая онлайн библиотека , тогда с учетом, того что Распределение Больцмана - №45 - открытая онлайн библиотека вероятность частицы попасть в Распределение Больцмана - №4 - открытая онлайн библиотека участок, мы получим распределение Больцмана: Распределение Больцмана - №47 - открытая онлайн библиотека - вероятность того, что молекула идеального газа имеет энергию Распределение Больцмана - №48 - открытая онлайн библиотека , т.е. находиться в Распределение Больцмана - №4 - открытая онлайн библиотека -ом состоянии. Это дискретное распределение, но его можно сделать непрерывным.

В данном распределении остается скрытой предпосылка осуществления этого распределения – различимости частиц. Эта предпосылка с физической точки зрения ошибочна, потому что в природе нет различимых частиц, и все реально существующие частицы описываются либо распределением Ферми-Дирака, либо распределением Бозе-Эйнштейна. Однако в наиболее часто встречающихся ситуациях классической физики распределения Ферми-Дирака и Бозе-Эйнштейна практически совпадают с распределением Максвелла-Больцмана, которое благодаря этому является основным распределением классической статистической физики.