Анализ линейной корреляции по опытным данным

Одной из задач математической статистики является исследование корреляционной зависимости между случайными величинами. Пусть проведено n опытов, в результате которых получены следующие значения системы величин :

(x1, y1), (x2, y2), ..., (xi, yi), ..., (xn, yn).

За приближенные значения , , и принимают их выборочные значения , , и [см. формулы (66) и (67)]:

(78)
(79)

Выборочными коэффициентами корреляции называют число , определяемое соотношением:

(80)

Можно показать, что сходится по вероятности к коэффициенту корреляции .
Заменяя в соотношениях (76) величины , и их выборочными значениями , и [см. формулы (79) и (80)], получим приближенные значения коэффициентов регрессии:

(81)

Подставляя в уравнения (74) и (75) приближенные значения коэффициентов регрессии и используя соотношения (78) и (81), получим уравнения эмпирических прямых регрессий:

на Анализ линейной корреляции по опытным данным - №24 - открытая онлайн библиотека :

(82)

Анализ линейной корреляции по опытным данным - №24 - открытая онлайн библиотека на :

(83)

При большом числе опытов для упрощения подсчета значений , , , и коэффициента корреляции поступим следующим образом (см. § 9, п. 2, замечание).
Диапазоны изменения наблюдаемых значений случайных величин Анализ линейной корреляции по опытным данным - №24 - открытая онлайн библиотека и разобьем соответственно на интервалы

]X0, X1[, ]X1, X2[, ..., ]Xi-1, Xi[, ..., ]Xk-1, Xk[

и

]Y0, Y1[, ]Y1, Y2[, ..., ]Yj-1, Yj[, ..., ]Ys-1, Ys[

Каждое из наблюдаемых значений , попавших в i-й (j-й) интервал, считаем приближенно равным середине этого интервала ci (dj). Пусть ( ) - число значений , попавших в в i-й (j-й) интервал, а x0 и y0 - произвольные числа, близкие к серединам диапазонов изменения значений Анализ линейной корреляции по опытным данным - №24 - открытая онлайн библиотека и . Полагая ui=ci-x0 и vj=dj-y0 и используя формулы (70) и (71), получим:

(84)

где

Для подсчета выборочного коэффициента корреляции по формуле (80) сначала запишем выражение в новых переменных ui=ci-x0 и vj=dj-y0. Обозначим через mij число наблюдаемых значений пар , у которых значения Анализ линейной корреляции по опытным данным - №24 - открытая онлайн библиотека попали в i-й интервал] Xi-1,Xi [, а значения - в j-й интервал ] Yj-1,Yj [. Каждое из этих значений Анализ линейной корреляции по опытным данным - №24 - открытая онлайн библиотека и заменим соответствующими серединами ci и djинтервалов ] Xi-1,Xi [ и ] Yj-1,Yj [. Тогда

где сумма в правой части равенства распространена на все возможные пары чисел (i,j), причем i пробегает значения от 1 до k, а j - от 1до s. После преобразований в результате получим

Итак, окончательная расчетная формула для выборочного коэффициента корреляции имеет вид

Пример. Для выяснения зависимости между диаметром ствола ( ) сосны и ее высотой ( Анализ линейной корреляции по опытным данным - №24 - открытая онлайн библиотека ) было исследовано 26 сосен. Наблюдаемые значения высоты сосен колеблются в границах от 22,5 до 28,5 м, диаметр ствола - от 20 до 48 см. Разбивая диапазон изменения высоты сосны на интервалы длиной 1 м, а диапазон изменения диаметра ствола на интервалы длиной 4 см, получим таблицу, приведенную вразделе 9.1. Эта таблица называется корреляционной. В каждой ее клетке стоит число сосен, диаметр ствола и высота которых находится в указанных границах (числа mij). При подсчете статистических характеристик примем высоту всех сосен, попавших в данный интервал, равной середине сi этого интервала, а диаметр ствола - равным середине dj cоответствующего интервала. Подсчет выборочных средних, дисперсий и коэффициента корреляции производим по формулам (84) и (85). Для подсчета , , и составляем две вспомогательные таблицы, принимая x0=25 и y0=34, т.е. ui=ci-25 и vj=dj-34.

Номер интервала Середина интервала ci высоты
-2 -4
-1 -4
Анализ линейной корреляции по опытным данным - №65 - открытая онлайн библиотека      
Номер интервала Середина интервала dj диаметра
-12 -24
-8 -40
-4 -20
Анализ линейной корреляции по опытным данным - №65 - открытая онлайн библиотека       -4

Из первой таблицы для высоты сосны Анализ линейной корреляции по опытным данным - №24 - открытая онлайн библиотека получаем



Из второй таблицы для диаметра ствола сосны находим



Для подсчета составляем новую таблицу. В каждой ее клетке (справа) указано число mij сосен, имеющих одни и те же значения ui а vj, а слева указано произведение mijuivj. Последний столбец состоит из суммы всех mijuivj при постоянном j. Как видно из таблицы

  ui  
vj -2 -1 Анализ линейной корреляции по опытным данным - №65 - открытая онлайн библиотека
-12 48 \ 2          
-8   16 \ 2 0 \ 1 -16 \ 2    
-4   8 \ 2 0 \ 2   -8 \ 1  
    0 \ 2 0 \ 1    
    0 \ 1 4 \ 1 16 \ 2  
      16 \ 2   72 \ 3
        48 \ 2  
             

Используя формулу (85), найдем выборочный коэффициент корреляции:

По формулам (81) находим приближенные значения коэффициентов регрессии:


По формулам (82) и (83) найдем эмпирические уравнения прямых регрессий.
Уравнение прямой регрессии на Анализ линейной корреляции по опытным данным - №24 - открытая онлайн библиотека имеет вид

y-33,85=3,81(x-25,65), или y=3,81x-63,88

Это уравнение дает зависимость среднего значения диаметра ствола от его длины.
Уравнение прямой регрессии Анализ линейной корреляции по опытным данным - №24 - открытая онлайн библиотека на имеет вид

x-25,65=0,15(y-33,85), или x=0,15y+21,57

Последнее уравнение дает зависимость среднего значения длины ствола от его диаметра.