Построение контрольных карт

Карты для количественных данных отражают состояние процесса через разброс (изменчивость от единицы к единице) и через расположение центра (среднее процесса). Поэтому контрольные карты для количественных данных почти всегда применяют и анализируют парами – одна карта для расположения и одна – для разброса. Наиболее часто используют пару - и -карту [8].

  1. По осям x на обеих картах наносим моменты времени, по которым мы располагаем данными и на протяжении которых мы хотим изучить ситуацию (обычно 20 или больше периодов). Например, январь, февраль, март, … или 1-й час, 2-й час, 3-й час, и т. д. [9]
  2. По осям y создаем шкалу, соответствующую измерениям (вес, температура …) [9].
  3. По каждому моменту времени, на X-карте отобразим средние значения в выборках и на R-карте размах в выборках ( ) [9].
  4. Посчитаем центральную линию для Х-карты: [9].
  5. Посчитаем центральную линию для R-карты: [9].

,

где n – количество элементов в выборке [9].

.

  1. Посчитаем верхний и нижний пределы для Х-карты, верхний и нижний пределы для R-карты [9].

Значение констант , , зависят от n (количества элементов в выборке) и находятся по таблице 1.

Таблица 1 – Коэффициенты для вычисления линий контрольных карт [8]

Число наблю- дений в под- группе Коэффициенты для вычисления контрольных границ   Коэффициенты для вычисления центральной линии
 
  2,121   1,880   2,659   0,000   3,267 0,000 2,606   0,000   3,686   0,000   3,267   0,7979   1,2533   1,128   0,8865  
  1,732   1,023   1,954   0,000   2,568 0,000 2,276   0,000   4,358   0,000   2,574   0,8886   1,1284   1,693   0,5907  
  1,500   0,729   1,628   0,000   2,266 0,000 2,088   0,000   4,696   0,000   2,282   0,9213   1,0854   2,059   0,4857  
  1,342   0,577   1,427   0,000   2,089 0,000 1,964   0,000   4,918   0,000   2,114   0,9400   1,0638   2,326   0,4299  
  1,225   0,483   1,287   0,030   1,970 0,029 1,874   0,000   5,078   0,000   2,004   0,9515   1,0510   2,534   0,3946  
  1,134   0,419   1,182   0,118   1,882 0,113 1,806   0,204   5,204   0,076   1,924   0,9594   1,0423   2,704   0,3698  
  1,061   0,373   1,099   0,185   1,815 0,179 1,751   0,388   5,306   0,136   1,864   0,9650   1,0363   2,847   0,3512  
  1,000   0,337   1,032   0,239   1,761 0,232 1,707   0,547   5,393   0,184   1,816   0,9693   1,0317   2,970   0,3367  
  0,949   0,308   0,975   0,284   1,716 0,276 1,669   0,687   5,469   0,223   1,777   0,9727   1,0281   3,078   0,3249  
  0,905   0,285   0,927   0,321   1,679 0,313 1,637   0,811   5,535   0,256   1,744   0,9754   1,0252   3,173   0,3152  
  0,866   0,266   0,886   0,354   1,646 0,346 1,610   0,922   5,594   0,283   1,717   0,9776   1,0229   3,258   0,3069  
  0,832   0,249   0,850   0,382   1,618 0,374 1,585   1,025   5,647   0,307   1,693   0,9794   1,0210   3,336   0,2998  
  0,802   0,235   0,817   0,406   1,594 0,399 1,563   1,118   5,696   0,328   1,672   0,9810   1,0194   3,407   0,2935  
  0,775   0,223   0,789   0,428   1,572 0,421 1,544   1,203   5,741   0,347   1,653   0,9823   1,0180   3,472   0,2880  
  0,750   0,212   0,763   0,448   1,552 0,440 1,526   1,282   5,782   0,363   1,637   0,9835   1,0168   3,532   0,2831  
  0,728   0,203   0,739   0,466   1,534 0,458 1,511   1,356   5,820   0,378   1,622   0,9845   1,0157   3,588   0,2784  
  0,707   0,194   0,718   0,482   1,518 0,475 1,496   1,424   5,856   0,391   1,608   0,9854   1,0148   3,640   0,2747  
  0,688   0,187   0,698   0,497   1,503 0,490 1,483   1,487   5,891   0,403   1,597   0,9862   1,0140   3,689   0,2711  
  0,671   0,180   0,680   0,510   1,490 0,504 1,470   1,549   5,921   0,415   1,585   0,9869   1,0133   3,735   0,2677  
  0,655   0,173   0,663   0,523   1,477 0,516 1,459   1,605   5,951   0,425   1,575   0,9876   1,0126   3,778   0,2647  
  0,640   0,167   0,647   0,534   1,466 0,528 1,448   1,659   5,979   0,434   1,566   0,9882   1,0119   3,819   0,2618  
  0,626   0,162   0,633   0,545   1,455 0,539 1,438   1,710   6,006   0,443   1,557   0,9887   1,0114   3,858   0,2592  
  0,612   0,157   0,619   0,555   1,445 0,549 1,429   1,759   6,031   0,451   1,548   0,9892   1,0109   3,895   0,2567  
  0,600   0,153   0,606   0,565   1,434 0,559 1,420   1,806   6,056   0,459   1,541   0,9896   1,0105   3,931   0,2544  
  Примечание - Источник ASTM, Philadelphia, PA, USA.  


Уточнения к формулам: Контрольные границы для X-карты вычисляются как , где оценка стандартного отклонения равна [9]:

.

Значение находится по таблице 1 [9].

Если исследователю известно, что процесс не имеет трендов, то можно достичь лучших результатов, используя следующую оценку [9]:

,

где – это все измерения по всем выборкам [9].

  1. На X-карте отобразим , и как линии, параллельные оси x [9].
  2. На R-карте отобразим , и [9].
  3. Подобно нижней и верхней границам, на X-карте посчитаем и отобразим пределы первого и второго сигма-уровней [9].

– пределы первого сигма-уровня [9].

– пределы второго сигма-уровня [9].

– пределы третьего сигма-уровня, они же контрольные границы [9].

Приведем пример [9].

Размер выборки: 5

Константы:

A2 0,577
D3
D4 2,114

Выборки:

Измерения
8,40 8,90 8,60 8,90 8,50 8,60 8,60 8,60 8,20 8,90 8,60 9,10 8,80 9,10
8,60 9,10 8,90 9,10 8,10 8,80 9,00 8,80 8,60 8,70 8,80 9,30 9,10 9,30
8,20 8,90 8,50 8,50 8,90 8,90 8,90 8,30 8,90 8,50 8,40 9,10 8,70 8,70
8,50 8,60 8,10 8,70 9,10 8,50 8,80 8,20 8,60 8,60 8,70 8,80 8,30 8,90
8,80 8,80 8,60 8,60 8,90 8,30 8,70 8,60 8,50 8,60 9,00 8,90 8,80 8,80
                             
                             
                             
                             
                             
Сумма 42,50 44,30 42,70 43,80 43,50 43,10 44,00 42,50 42,80 43,30 43,50 45,20 43,70 44,80
X
8,50 8,86 8,54 8,76 8,70 8,62 8,80 8,50 8,56 8,66 8,70 9,04 8,74 8,96
R 0,60 0,50 0,80 0,60 1,00 0,60 0,40 0,60 0,70 0,40 0,60 0,50 0,80 0,60
Измерения
8,70 8,80 8,80 8,80 8,40 9,10 9,10 8,80 8,40 9,10 9,10 8,80 8,40 9,10 9,10 9,10
8,30 8,70 9,10 9,00 8,80 8,90 8,90 9,00 8,80 8,90 8,90 9,00 8,80 8,90 8,90 9,30
9,10 9,10 9,10 8,50 9,10 8,70 8,70 8,50 9,10 8,70 8,70 8,50 9,10 8,70 8,70 9,10
9,30 8,70 9,00 8,30 8,80 8,80 8,80 8,30 8,80 8,80 8,80 8,30 8,80 8,80 8,80 8,80
9,10 8,50 8,80 8,80 8,70 8,80 8,80 8,80 8,70 8,80 8,80 8,80 8,70 8,80 8,80 8,90
                                 
                                 
                                 
                                 
                                 
Сумма 44,50 43,80 44,80 43,40 43,80 44,30 44,30 43,40 43,80 44,30 44,30 43,40 43,80 44,30 44,30 45,20
X
8,90 8,76 8,96 8,68 8,76 8,86 8,86 8,68 8,76 8,86 8,86 8,68 8,76 8,86 8,86 9,04
R 1,00 0,60 0,30 0,70 0,70 0,40 0,40 0,70 0,70 0,40 0,40 0,70 0,70 0,40 0,40 0,50
Среднее =8,77 UCL=9,11 LCL=8,43
    =8,88 =8,66
    =9,00 =8.54

Размах =0,59 UCL=1,25 LCL=0