Интегрирование рациональных дробей. Интегрирование некоторых классов иррациональных и трансцендентных функций

(конкретные числовые примеры по данному вопросу см. в лекции за 21.03.00)

Рассмотрим интегал вида òR(x)dx, где R(x) – рациональная функция, т.е функция, которую можно представить в виде отношения двух многочленов R(x)=P(x)/Q(x). Если эта дробь неправильная, то можно выполнить деление с остатком и представить R(x) в виде суммы некоторого многочлена и правильной дроби.

Теорема. Всякая правильная дробь может быть представлена как сумма простейших дробей вида

A ; A ; Mx+N ; Mx+N .

x-a (x-a)n x2+px+q (x2+px+q)n

, где A,M,N,a,p,q – действительные числа.

Непростейшие дроби.

Лемма 1. Пусть F(x)/Q(x) – правильная дробь. Если х=а- корень Q(x) кратности К,т.е. Q(x)=(x-a)K*Q1(x), где Q1(a) не равно нулю, то F(x)= AK+ F1(x)

Q(x) (x-a)K Q1(x)*(x-a)K-1

Лемма 2. Пусть F(x)/Q(x) – правильная дробь. Если Q(x)=(x2+px+q)K*Q1(x) Þ

F(x) =MKx+NK + F1(x) .

Q(x) (x2+px+q)K (x2+px+q)K-1*Q1(x)

Теорема разложения правилоной дроби на простейшие. Пусть F(x)/Q(x) – правильная дробь. Если Q(x)=(x-a)a(x-b)b**(x-c)g(x2+p1x+q1)K**(x2+p2x+q2)m Þ эта дробь разлагается в сумму простейших дробей следующего вида:

F(x) = Aa+ Aa-1+…+ A1+ Bb+ Bb-1+…+ B1+ Cg+ Cg-1+…+ C1+

Q(x) (x-a)a (x-a) a-1 x-a (x-b)b (x-b) b-1 x-b (x-c)g (x-c) g-1 x-c

+ MKx+NK + MK-1x+NK-1+…+ M1x+N1+ Cmx+Dm + Cm-1x+Dm-1+…+ C1x+D1

(x2+p1x+q1)K (x2+p1x+q1)K-1 x2+p1x+q1 (x2+p2x+q2)m (x2+p2x+q2)m-1 x2+p2x+q2

Интегрирование иррациональных и трансцендентных функций.

Трансцендентная функция – аналитическая функция, не являющаяся алгебраической. (Например, показательная функция тригонометрической функции.)

òR(x,xm1/n1,…xmk/nk)dx, где R – рациональная функция от х и её дробных степеней. Такой интеграл может быть решён с помощью замены степени с дробным показателем на степень функции с целым показателем. (подробнее см. в лекциях)

.

òR(x,ÖAx2+Bx+C )dx Под корнем выделяется полный квадрат и решается с помощью замены переменной.

..

òdx/Ö Ax2+Bx+C , òÖ Ax2+Bx+C dx


Формула Ньютона-Лейбница, ее применение для вычисления определенных интегралов.

Теорема. Пусть функция у=f(х) непрерывна на отрезке [а, b] и F(х) – первообразная для f(х).Тогда

Интегрирование рациональных дробей. Интегрирование некоторых классов иррациональных и трансцендентных функций - №1 - открытая онлайн библиотека

(*)

Доказательство: Поскольку функция f(х) непрерывна на отрезке [а, b], то она интегрируема на этом отрезке и имеет первообразную на этом отрезке. Проверим справедливость формулы (*). Действительно,

подставляя х=b, получим

а подставляя х=а, получим

Интегрирование рациональных дробей. Интегрирование некоторых классов иррациональных и трансцендентных функций - №2 - открытая онлайн библиотека

поэтому

Если F(х) – другая первообразная для функции f(х), то выполняется равенство F(х)= Ф(х)+С. Имеем

F(b)-F(a)=(Ф(b)+C)-(Ф(а)+С)=Ф(b)-Ф(а)

Интегрирование рациональных дробей. Интегрирование некоторых классов иррациональных и трансцендентных функций - №3 - открытая онлайн библиотека что завершает доказательство формулы (*). Разность F(b)-F(a) часто записывают в виде

Интегрирование рациональных дробей. Интегрирование некоторых классов иррациональных и трансцендентных функций - №4 - открытая онлайн библиотека и формула Ньютона-Лейбница в этом случае принимает следующий вид:

(**)

Мы доказали формулу для случая, когда f(х) непрерывная на [а, b] функция. В действительности эта формула справедлива для любой функции f(х), имеющей первообразную F(x)/

Формулу (**) обычно называют основной формулой интегрального исчисления. она позволяет сводить нахождение определенного интеграла к нахождению первообразной.

Несобственые интегралы с бесконечными пределами.

Пусть y=f(x) определена и непрерывна на промежутке [a;+∞], интегрируема на любом [a;b] (b>a). Сущ-т ∫ab f(x)dx для любого b>a. Обозначим ∫ab f(x)dx = Ф(b).

Несобственным интегралом с бесконечным верхним пределом от ф-и y=f(x) мы назовем предел вида ∫af(x)dx=lim Ф(b) при b→+∞. Этот инт-л наз. Сходящимся, если предел ф-и lim Ф(b) при b→+∞ сущ-т и конечен. В противном случае он наз расходящимся.

Аналогично определяем несобственный инт-л с бесконечным нижним пределом. Пусть y=f(x) определена и непрерывна на промежутке (-∞;в], интегрируема на любом [a;b] (a<b). Сущ-т ∫ab f(x)dx для любого a<b, Обозначим ∫ab f(x)dx = Ф(a), ∫-∞b f(x)dx = lim Ф(a) при а→–∞. Этот инт-л наз сходящимся, если предел сущ-т и конечен, в противном случае – расходящимся.

Несобственный инт-л с бесконечными нижним и верхним пределами.-∞f(x)dx

y=f(x) опред-на и непрерывна на (–∞;∞) и интегрируема для любого [а;b]. Возьмем произвольную точку с на (–∞;∞). Имеем: ∫-∞f(x)dx = ∫-∞с f(x)dx + + ∫сf(x)dx (1)

Если сущ-т несобственные интеграл с бесконеч. Верхним пределом и несоб. Инт-л с бесконечным нижним пределом, и они оба сходятся, то сходится и несобственный интеграл с бесконечным верхним и нижним пределом. В этом случае сумма (1) не зависит от выбора точки с.

Геометрич. смысл несобственного интеграла.

Пусть y=f(x) неотрицат. Непрерывная на [a;b). Для каждого b>a определенный инт-л ∫ab f(x)dx = S aABb. Мысленно перемещая Bb вправо, получим ∫af(x)dx=SaA∞.

 
  Интегрирование рациональных дробей. Интегрирование некоторых классов иррациональных и трансцендентных функций - №5 - открытая онлайн библиотека

Интегрирование рациональных дробей. Интегрирование некоторых классов иррациональных и трансцендентных функций - №6 - открытая онлайн библиотека A

B

a b