Тема: Интегрирование по частям. Замена переменной в неопределенном интеграле. Интегрирование рациональных дробей. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие

2.1. Интегрирование по частям.

Интегрирование по частям есть действие обратное дифференцированию произведения.

Имеем: Тема: Интегрирование по частям. Замена переменной в неопределенном интеграле. Интегрирование рациональных дробей. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие - №1 - открытая онлайн библиотека

Проинтегрируем обе части равенства:

Тема: Интегрирование по частям. Замена переменной в неопределенном интеграле. Интегрирование рациональных дробей. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие - №2 - открытая онлайн библиотека

Тема: Интегрирование по частям. Замена переменной в неопределенном интеграле. Интегрирование рациональных дробей. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие - №3 - открытая онлайн библиотека отсюда получаем:

Тема: Интегрирование по частям. Замена переменной в неопределенном интеграле. Интегрирование рациональных дробей. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие - №4 - открытая онлайн библиотека

Пример

Тема: Интегрирование по частям. Замена переменной в неопределенном интеграле. Интегрирование рациональных дробей. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие - №5 - открытая онлайн библиотека

Тема: Интегрирование по частям. Замена переменной в неопределенном интеграле. Интегрирование рациональных дробей. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие - №6 - открытая онлайн библиотека

Пример

Тема: Интегрирование по частям. Замена переменной в неопределенном интеграле. Интегрирование рациональных дробей. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие - №7 - открытая онлайн библиотека

В интеграле Тема: Интегрирование по частям. Замена переменной в неопределенном интеграле. Интегрирование рациональных дробей. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие - №8 - открытая онлайн библиотека еще раз применим интегрирование по частям:

Тема: Интегрирование по частям. Замена переменной в неопределенном интеграле. Интегрирование рациональных дробей. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие - №9 - открытая онлайн библиотека

В данном примере интегрирование по частям применено дважды.

Пример

Тема: Интегрирование по частям. Замена переменной в неопределенном интеграле. Интегрирование рациональных дробей. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие - №10 - открытая онлайн библиотека , где Тема: Интегрирование по частям. Замена переменной в неопределенном интеграле. Интегрирование рациональных дробей. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие - №11 - открытая онлайн библиотека

Замечание: Если под знаком интеграла имеем дробь Тема: Интегрирование по частям. Замена переменной в неопределенном интеграле. Интегрирование рациональных дробей. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие - №12 - открытая онлайн библиотека , числитель которой есть производная знаменателя, то интеграл от этой дроби равен логарифму натуральному от модуля знаменателя!!!

Пример

Тема: Интегрирование по частям. Замена переменной в неопределенном интеграле. Интегрирование рациональных дробей. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие - №13 - открытая онлайн библиотека

Тема: Интегрирование по частям. Замена переменной в неопределенном интеграле. Интегрирование рациональных дробей. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие - №14 - открытая онлайн библиотека

Тема: Интегрирование по частям. Замена переменной в неопределенном интеграле. Интегрирование рациональных дробей. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие - №15 - открытая онлайн библиотека

2.2. Интегрирование заменой переменной.

Рассмотрим формулу (1) в следующем виде:

Тема: Интегрирование по частям. Замена переменной в неопределенном интеграле. Интегрирование рациональных дробей. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие - №16 - открытая онлайн библиотека , где Тема: Интегрирование по частям. Замена переменной в неопределенном интеграле. Интегрирование рациональных дробей. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие - №17 - открытая онлайн библиотека обратная функция для функции Тема: Интегрирование по частям. Замена переменной в неопределенном интеграле. Интегрирование рациональных дробей. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие - №18 - открытая онлайн библиотека . Обратим внимание на то, что при замене переменной Тема: Интегрирование по частям. Замена переменной в неопределенном интеграле. Интегрирование рациональных дробей. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие - №18 - открытая онлайн библиотека последняя функция должна иметь обратную.

В данном интеграле сделана замена Тема: Интегрирование по частям. Замена переменной в неопределенном интеграле. Интегрирование рациональных дробей. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие - №18 - открытая онлайн библиотека . Сложность заключается в том, что таких замен бесконечно много и нужно подобрать такую, чтобы вновь полученный интеграл был проще исходного.

Пример

Тема: Интегрирование по частям. Замена переменной в неопределенном интеграле. Интегрирование рациональных дробей. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие - №21 - открытая онлайн библиотека Тема: Интегрирование по частям. Замена переменной в неопределенном интеграле. Интегрирование рациональных дробей. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие - №22 - открытая онлайн библиотека

Тема: Интегрирование по частям. Замена переменной в неопределенном интеграле. Интегрирование рациональных дробей. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие - №23 - открытая онлайн библиотека

Тема: Интегрирование по частям. Замена переменной в неопределенном интеграле. Интегрирование рациональных дробей. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие - №24 - открытая онлайн библиотека

2.3. Интегрирование рациональных дробей. Разложение правильной дроби на простейшие.

Определение: Рациональной дробью называется отношение двух многочленов.

Тема: Интегрирование по частям. Замена переменной в неопределенном интеграле. Интегрирование рациональных дробей. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие - №25 - открытая онлайн библиотека , где Тема: Интегрирование по частям. Замена переменной в неопределенном интеграле. Интегрирование рациональных дробей. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие - №26 - открытая онлайн библиотека и Тема: Интегрирование по частям. Замена переменной в неопределенном интеграле. Интегрирование рациональных дробей. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие - №27 - открытая онлайн библиотека многочлены соответственно степеней m и n.

Определение: Рациональная дробь Тема: Интегрирование по частям. Замена переменной в неопределенном интеграле. Интегрирование рациональных дробей. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие - №28 - открытая онлайн библиотека называется правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя, т.е. Тема: Интегрирование по частям. Замена переменной в неопределенном интеграле. Интегрирование рациональных дробей. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие - №29 - открытая онлайн библиотека , в противном случае рациональная дробь – неправильная.

Всякая неправильная дробь всегда может быть представлена в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби. Это достигается делением числителя на знаменатель.

Отсюда следует, что интегрирование неправильной рациональной дроби всегда можно свести к интегрированию правильной рациональной дроби.

В дальнейшем мы покажем, что всякую правильную рациональную дробь можно представить в виде суммы простейших рациональных дробей.

К простейшим рациональным дробям относятся дроби:

1) Тема: Интегрирование по частям. Замена переменной в неопределенном интеграле. Интегрирование рациональных дробей. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие - №30 - открытая онлайн библиотека

2) Тема: Интегрирование по частям. Замена переменной в неопределенном интеграле. Интегрирование рациональных дробей. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие - №31 - открытая онлайн библиотека

3) Тема: Интегрирование по частям. Замена переменной в неопределенном интеграле. Интегрирование рациональных дробей. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие - №32 - открытая онлайн библиотека

4) Тема: Интегрирование по частям. Замена переменной в неопределенном интеграле. Интегрирование рациональных дробей. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие - №33 - открытая онлайн библиотека

Пусть дана правильная рациональная дробь Тема: Интегрирование по частям. Замена переменной в неопределенном интеграле. Интегрирование рациональных дробей. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие - №34 - открытая онлайн библиотека .

Коэффициент при Тема: Интегрирование по частям. Замена переменной в неопределенном интеграле. Интегрирование рациональных дробей. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие - №35 - открытая онлайн библиотека у многочлена Тема: Интегрирование по частям. Замена переменной в неопределенном интеграле. Интегрирование рациональных дробей. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие - №36 - открытая онлайн библиотека можно считать равным 1. Этого можно достичь, деля числитель и знаменатель на одно и то же число.

Многочлен Тема: Интегрирование по частям. Замена переменной в неопределенном интеграле. Интегрирование рациональных дробей. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие - №37 - открытая онлайн библиотека имеет ровно n корней, учитывая их кратность, т.е.:

Тема: Интегрирование по частям. Замена переменной в неопределенном интеграле. Интегрирование рациональных дробей. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие - №38 - открытая онлайн библиотека , где Тема: Интегрирование по частям. Замена переменной в неопределенном интеграле. Интегрирование рациональных дробей. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие - №39 - открытая онлайн библиотека действительные корни, Тема: Интегрирование по частям. Замена переменной в неопределенном интеграле. Интегрирование рациональных дробей. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие - №40 - открытая онлайн библиотека комплексные корни, Тема: Интегрирование по частям. Замена переменной в неопределенном интеграле. Интегрирование рациональных дробей. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие - №41 - открытая онлайн библиотека кратность соответствующих корней.

Так как Тема: Интегрирование по частям. Замена переменной в неопределенном интеграле. Интегрирование рациональных дробей. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие - №37 - открытая онлайн библиотека – многочлен с действительными коэффициентами, то каждому комплексному корню соответствует сопряженный комплексный корень той же кратности.

Пусть Тема: Интегрирование по частям. Замена переменной в неопределенном интеграле. Интегрирование рациональных дробей. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие - №43 - открытая онлайн библиотека комплексный корень Тема: Интегрирование по частям. Замена переменной в неопределенном интеграле. Интегрирование рациональных дробей. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие - №37 - открытая онлайн библиотека кратности Тема: Интегрирование по частям. Замена переменной в неопределенном интеграле. Интегрирование рациональных дробей. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие - №45 - открытая онлайн библиотека , тогда Тема: Интегрирование по частям. Замена переменной в неопределенном интеграле. Интегрирование рациональных дробей. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие - №46 - открытая онлайн библиотека тоже корень Тема: Интегрирование по частям. Замена переменной в неопределенном интеграле. Интегрирование рациональных дробей. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие - №37 - открытая онлайн библиотека кратности Тема: Интегрирование по частям. Замена переменной в неопределенном интеграле. Интегрирование рациональных дробей. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие - №45 - открытая онлайн библиотека . Поэтому в многочлене Тема: Интегрирование по частям. Замена переменной в неопределенном интеграле. Интегрирование рациональных дробей. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие - №37 - открытая онлайн библиотека будет присутствовать произведение:

Тема: Интегрирование по частям. Замена переменной в неопределенном интеграле. Интегрирование рациональных дробей. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие - №50 - открытая онлайн библиотека

где Тема: Интегрирование по частям. Замена переменной в неопределенном интеграле. Интегрирование рациональных дробей. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие - №51 - открытая онлайн библиотека

Следовательно, многочлен Тема: Интегрирование по частям. Замена переменной в неопределенном интеграле. Интегрирование рациональных дробей. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие - №37 - открытая онлайн библиотека всегда можно представить в следующем виде:

Тема: Интегрирование по частям. Замена переменной в неопределенном интеграле. Интегрирование рациональных дробей. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие - №53 - открытая онлайн библиотека .

Теорема: Всякую правильную рациональную дробь всегда можно представить в виде суммы простейших рациональных дробей в следующем виде:

Тема: Интегрирование по частям. Замена переменной в неопределенном интеграле. Интегрирование рациональных дробей. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие - №54 - открытая онлайн библиотека

где А, В, С с соответствующими индексами – неопределенные коэффициенты.

(теорема без доказательства)

Неопределенные коэффициенты находятся следующим образом: равенство (2) приводят к общему знаменателю, которым является Тема: Интегрирование по частям. Замена переменной в неопределенном интеграле. Интегрирование рациональных дробей. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие - №37 - открытая онлайн библиотека . Затем приравниваем числители в левой и правой части полученного равенства. Далее приравнивают коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой части последнего равенства. В результате получим систему линейных уравнений относительно неопределенных коэффициентов. Решая эту систему, найдем неопределенные коэффициенты.

Таким образом, интегрирование всякой рациональной дроби сводится к интегрированию простейших рациональных дробей.