Метод решения несобственного интеграла второго рода с точками разрыва на обоих концах отрезка

Заключительные пункты этой статьи предназначены для читателей, которые хорошо разобрались с несобственными интегралами второго рода на уроке Несобственные интегралы. Примеры решений. Рассмотрим другие несобственные интегралы второго рода. Многие выкладки предыдущего раздела будет справедливы и сейчас.

Сразу конкретная задача:

Пример 12

Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость

Метод решения несобственного интеграла второго рода с точками разрыва на обоих концах отрезка - №1 - открытая онлайн библиотека .

Подынтегральная функция терпит бесконечные разрывы в обоих концах отрезка интегрирования. Изобразим подынтегральную функцию

Метод решения несобственного интеграла второго рода с точками разрыва на обоих концах отрезка - №2 - открытая онлайн библиотека

на чертёже:

Метод решения несобственного интеграла второго рода с точками разрыва на обоих концах отрезка - №3 - открытая онлайн библиотека

Геометрически данный несобственный интеграл представляет собой площадь бесконечной криволинейной трапеции, которая не ограничена сверху.

Методика решения практически такая же, как и в предыдущем параграфе. Представим несобственный интеграл в виде суммы двух несобственных интегралов:

Метод решения несобственного интеграла второго рода с точками разрыва на обоих концах отрезка - №4 - открытая онлайн библиотека

Если оба интеграла правой части сходятся, то сходится и весь интеграл.

Если хотя бы одиниз интегралов правой части расходится, то расходится и весь интеграл. А уж интегралы правой части рассматривались во втором разделе урока Несобственные интегралы. Примеры решений.

Но, вместо этого замечаем, что подынтегральная функция является чётной. Чётность использовать МОЖНО. В этом легко убедиться и по чертежу. Таким образом, интеграл целесообразно споловинить, а результат удвоить. Решаем наиболее рациональным способом:

Метод решения несобственного интеграла второго рода с точками разрыва на обоих концах отрезка - №5 - открытая онлайн библиотека

Подынтегральная функция терпит бесконечные разрывы в точках Метод решения несобственного интеграла второго рода с точками разрыва на обоих концах отрезка - №6 - открытая онлайн библиотека . Данная функция является чётной, а интервал интегрирования симметричен относительно нуля.

Метод решения несобственного интеграла второго рода с точками разрыва на обоих концах отрезка - №7 - открытая онлайн библиотека

Ответ:

Метод решения несобственного интеграла второго рода с точками разрыва на обоих концах отрезка - №8 - открытая онлайн библиотека ; данный интеграл сходится.

Пример 13

Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость

Метод решения несобственного интеграла второго рода с точками разрыва на обоих концах отрезка - №9 - открытая онлайн библиотека .

Это пример для самостоятельного решения. Всё, как и в предыдущем параграфе – нечетностью функции пользоваться НЕ НУЖНО. Аккуратно делим интеграл на две части и исследуем сходимость по типовому алгоритму.

Полное решение и ответ в конце урока.

Не редкость, когда подынтегральная функция не является четной или нечетной, да и отрезок интегрирования не симметричен относительно нуля.

Например, рассмотрим несобственный интеграл

Метод решения несобственного интеграла второго рода с точками разрыва на обоих концах отрезка - №10 - открытая онлайн библиотека .

Подынтегральная функция опять терпит бесконечные разрывы в обоих концах отрезка интегрирования. Алгоритм такой же, делим интеграл на два интеграла:

Метод решения несобственного интеграла второго рода с точками разрыва на обоих концах отрезка - №11 - открытая онлайн библиотека

Интегралы правой части разобраны на уроке Несобственные интегралы. Примеры решений. Если оба интеграла будут сходиться, то будет сходиться и весь интеграл. Если хотя бы один интеграл правой части расходится, то расходится и весь интеграл.

Кстати, не важно, в каком порядке исследовать сходимость интегралов правой части. Можно сначала исследовать сходимость интеграла

Метод решения несобственного интеграла второго рода с точками разрыва на обоих концах отрезка - №12 - открытая онлайн библиотека ,

а потом (если до этого дойдет), исследовать сходимость первого интеграла правой части.