Интегрирование сложных дробей

Продолжаем рассматривать интегралы от дробей и корней. Не все они суперсложные, просто по тем или иным причинам примеры были немного «не в тему» в других статьях.

Пример 9

Найти неопределенный интеграл

Интегрирование сложных дробей - №1 - открытая онлайн библиотека .

В знаменателе под корнем находится квадратный трехчлен плюс за пределами корня «довесок» в виде «икса». Интеграл такого вида решается с помощью стандартной замены.

Решаем:

Интегрирование сложных дробей - №2 - открытая онлайн библиотека .

Замена тут простая:

Интегрирование сложных дробей - №3 - открытая онлайн библиотека

Смотрим на жизнь после замены:

Интегрирование сложных дробей - №4 - открытая онлайн библиотека

(1) После подстановки приводим к общему знаменателю слагаемые под корнем.

(2) Выносим Интегрирование сложных дробей - №5 - открытая онлайн библиотека из-под корня.

(3) Числитель и знаменатель сокращаем на Интегрирование сложных дробей - №5 - открытая онлайн библиотека . Заодно под корнем мы переставили слагаемые в удобном порядке. При определенном опыте шаги (1), (2) можно пропускать, выполняя прокомментированные действия устно.

(4) Полученный интеграл, как вы помните, решается методом выделения полного квадрата. Выделяем полный квадрат.

(5) Интегрированием получаем заурядный «длинный» логарифм.

(6) Проводим обратную замену. Если изначально Интегрирование сложных дробей - №7 - открытая онлайн библиотека , то обратно: Интегрирование сложных дробей - №8 - открытая онлайн библиотека .

(7) Заключительное действие направлено на прическу результата: под корнем снова приводим слагаемые к общему знаменателю и выносим из-под корня Интегрирование сложных дробей - №9 - открытая онлайн библиотека .

Пример 10

Найти неопределенный интеграл

Интегрирование сложных дробей - №10 - открытая онлайн библиотека .

Это пример для самостоятельного решения. Здесь к одинокому «иксу» добавлена константа, и замена почти такая же:

Интегрирование сложных дробей - №11 - открытая онлайн библиотека .

Единственное, что нужно, - это дополнительно выразить «икс» из проводимой замены:

Интегрирование сложных дробей - №12 - открытая онлайн библиотека .

Полное решение и ответ в конце урока.

Иногда в таком интеграле под корнем может находиться квадратный двучлен, это не меняет способ решения, оно будет даже еще проще. Почувствуйте разницу:

Пример 11

Найти неопределенный интеграл

Интегрирование сложных дробей - №13 - открытая онлайн библиотека .

Пример 12

Найти неопределенный интеграл

Интегрирование сложных дробей - №14 - открытая онлайн библиотека .

Краткие решения и ответы в конце урока. Следует отметить, что Пример 11 является в точности биномиальным интегралом, решение которого рассматривалось на уроке Интегралы от иррациональных функций.

Интеграл от неразложимого в знаменателе многочлена 2-ой степени в степени

Более редкий, но, тем не менее, встречающий в практических примерах вид интеграла.

Пример 13

Найти неопределенный интеграл

Интегрирование сложных дробей - №15 - открытая онлайн библиотека .

В знаменателе подынтегральной функции находится неразложимый на множители квадратный двучлен. Подчеркиваем, что неразложимость на множители является существенной особенностью. Если многочлен раскладывается на множители, то всё намного понятнее, например:

Интегрирование сложных дробей - №16 - открытая онлайн библиотека – и далее применяется стандартный метод неопределенных коэффициентов.

Вернёмся к примеру со счастливым номером 13. Этот интеграл тоже из разряда тех, с которыми можно изрядно промучиться, если не знаешь, как решать.

Решение начинается с искусственного преобразования:

Интегрирование сложных дробей - №17 - открытая онлайн библиотека

Как почленно разделить числитель на знаменатель, думаю, уже все понимают.

Полученный интеграл берётся по частям:

Интегрирование сложных дробей - №18 - открытая онлайн библиотека

Интегрирование сложных дробей - №19 - открытая онлайн библиотека Интегрирование сложных дробей - №20 - открытая онлайн библиотека

Готово.

Для интеграла вида

Интегрирование сложных дробей - №21 - открытая онлайн библиотека ,

где (k ≥ 2) – натуральное число, выведена рекуррентная формула понижения степени:

Интегрирование сложных дробей - №22 - открытая онлайн библиотека , где

Интегрирование сложных дробей - №23 - открытая онлайн библиотека ; – это интеграл степенью ниже на 1.

Убедимся в справедливости данной формулы для интеграла из Примера 13:

Интегрирование сложных дробей - №15 - открытая онлайн библиотека .

В данном случае: k = 2; a2 = 1; используем формулу:

Интегрирование сложных дробей - №25 - открытая онлайн библиотека

Как видите, ответы совпадают.

Пример 14

Найти неопределенный интеграл

Интегрирование сложных дробей - №26 - открытая онлайн библиотека .

Это пример для самостоятельного решения. В образце решения дважды последовательно использована вышеупомянутая формула.

Если под степенью находится неразложимый на множители квадратный трехчлен, то решение сводится к двучлену путем выделения полного квадрата, например:

Интегрирование сложных дробей - №27 - открытая онлайн библиотека .

Далее следует «безболезненная» линейная замена

Интегрирование сложных дробей - №28 - открытая онлайн библиотека и получается знакомый интеграл

Интегрирование сложных дробей - №29 - открытая онлайн библиотека .

Что делать, если дополнительно в числителе есть многочлен? В этом случае используется метод неопределенных коэффициентов, и подынтегральная функция раскладывается в сумму дробей. Если такой интеграл встретится, смотрите учебник – там всё просто.