Основные методы интегрирования: метод замены, интегрирование по частям, интегрирование некоторых рациональных дробей (метод неопределенных коэффициентов)

1. Интегрирование заменой переменной или методом подстановки. Пусть Основные методы интегрирования: метод замены, интегрирование по частям, интегрирование некоторых рациональных дробей (метод неопределенных коэффициентов) - №1 - открытая онлайн библиотека , где функция Основные методы интегрирования: метод замены, интегрирование по частям, интегрирование некоторых рациональных дробей (метод неопределенных коэффициентов) - №2 - открытая онлайн библиотека имеет непрерывнуюпроизводную Основные методы интегрирования: метод замены, интегрирование по частям, интегрирование некоторых рациональных дробей (метод неопределенных коэффициентов) - №3 - открытая онлайн библиотека , а между переменными Основные методы интегрирования: метод замены, интегрирование по частям, интегрирование некоторых рациональных дробей (метод неопределенных коэффициентов) - №4 - открытая онлайн библиотека и Основные методы интегрирования: метод замены, интегрирование по частям, интегрирование некоторых рациональных дробей (метод неопределенных коэффициентов) - №5 - открытая онлайн библиотека существует взаимно однозначное соответствие. Тогда справедливо равенство

Основные методы интегрирования: метод замены, интегрирование по частям, интегрирование некоторых рациональных дробей (метод неопределенных коэффициентов) - №6 - открытая онлайн библиотека

Определенный интеграл зависит от переменной интегрирования, поэтому если выполнена замена переменных, то обязательно надо вернуться к первоначальной переменной интегрирования.

2. Интегрированием по частям называют интегрирование по формуле

Основные методы интегрирования: метод замены, интегрирование по частям, интегрирование некоторых рациональных дробей (метод неопределенных коэффициентов) - №7 - открытая онлайн библиотека

При нахождении функции Основные методы интегрирования: метод замены, интегрирование по частям, интегрирование некоторых рациональных дробей (метод неопределенных коэффициентов) - №8 - открытая онлайн библиотека по ее дифференциалу Основные методы интегрирования: метод замены, интегрирование по частям, интегрирование некоторых рациональных дробей (метод неопределенных коэффициентов) - №9 - открытая онлайн библиотека можно брать любое значение постоянной интегрирования Основные методы интегрирования: метод замены, интегрирование по частям, интегрирование некоторых рациональных дробей (метод неопределенных коэффициентов) - №10 - открытая онлайн библиотека , так как она в конечный результат не входит. Поэтому для удобства будем брать Основные методы интегрирования: метод замены, интегрирование по частям, интегрирование некоторых рациональных дробей (метод неопределенных коэффициентов) - №11 - открытая онлайн библиотека .

Использование формулы интегрирования по частям целесообразно в тех случаях, когда дифференцирование упрощает один из сомножителей, в то время как интегрирование не усложняет другой.

3.Для нахождения неизвестных коэффициентов в разложении

Основные методы интегрирования: метод замены, интегрирование по частям, интегрирование некоторых рациональных дробей (метод неопределенных коэффициентов) - №12 - открытая онлайн библиотека

Основные методы интегрирования: метод замены, интегрирование по частям, интегрирование некоторых рациональных дробей (метод неопределенных коэффициентов) - №13 - открытая онлайн библиотека

используется метод неопределенных коэффициентов, суть которого состоит в следующем:

  1. правую часть записанного равенства приводим к общему знаменателю, который совпадает со знаменателем дроби, стоящей в левой части этого равенства - Основные методы интегрирования: метод замены, интегрирование по частям, интегрирование некоторых рациональных дробей (метод неопределенных коэффициентов) - №14 - открытая онлайн библиотека , в числителе левой части получим некоторый многочлен Основные методы интегрирования: метод замены, интегрирование по частям, интегрирование некоторых рациональных дробей (метод неопределенных коэффициентов) - №15 - открытая онлайн библиотека с неизвестными коэффициентами;
  2. используем тот факт, что две дроби равны, когда равны их числители и знаменатели. Из того, что знаменатели левой и правой частей равенства равны, то значит, равны и числители:

Основные методы интегрирования: метод замены, интегрирование по частям, интегрирование некоторых рациональных дробей (метод неопределенных коэффициентов) - №16 - открытая онлайн библиотека

  1. два многочлена равны, если равны коэффициенты при соответствующих степенях переменной, поэтому приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях переменной Основные методы интегрирования: метод замены, интегрирование по частям, интегрирование некоторых рациональных дробей (метод неопределенных коэффициентов) - №4 - открытая онлайн библиотека . В результате получаем систему для определения неизвестных коэффициентов.