Пределы последовательностей и функций

Пределы последовательностей и функций

Числовой последовательностью Пределы последовательностей и функций - №1 - открытая онлайн библиотека называется числовая функция, определенная на множестве натуральных чисел. Задать числовую последовательность означает задать закон, по которому можно определить значение любого члена последовательности, зная его порядковый номер п; для этого достаточно знать выражение общего или п-го члена последовательности в виде функции его номера: Пределы последовательностей и функций - №2 - открытая онлайн библиотека .

В основе всех положений математического анализа лежит понятие предела числовой последовательности. Число А называется пределом числовой последовательности Пределы последовательностей и функций - №1 - открытая онлайн библиотека , если для любого сколь угодно малого положительного числа e существует такой номер Пределы последовательностей и функций - №4 - открытая онлайн библиотека , зависящий от выбранного e, начиная с которого все члены последовательности отличаются от А по модулю меньше, чем на e, т. е.

Пределы последовательностей и функций - №5 - открытая онлайн библиотека при Пределы последовательностей и функций - №6 - открытая онлайн библиотека .

Если последовательность Пределы последовательностей и функций - №1 - открытая онлайн библиотека имеет предел А, то она называется сходящейся (к числу А) и этот факт записывают следующим образом:

Пределы последовательностей и функций - №8 - открытая онлайн библиотека .

Пусть функция Пределы последовательностей и функций - №9 - открытая онлайн библиотека определена в некоторой окрестности точки Пределы последовательностей и функций - №10 - открытая онлайн библиотека . Выберем в некоторой окрестности этой точки какую-нибудь последовательность Пределы последовательностей и функций - №11 - открытая онлайн библиотека сходящуюся к точке Пределы последовательностей и функций - №10 - открытая онлайн библиотека : Пределы последовательностей и функций - №13 - открытая онлайн библиотека . Значения функции в выбранных точках образуют последовательность Пределы последовательностей и функций - №14 - открытая онлайн библиотека , и можно ставить вопрос о существовании предела этой последовательности.

Число А называется пределом функции Пределы последовательностей и функций - №15 - открытая онлайн библиотека в точке Пределы последовательностей и функций - №10 - открытая онлайн библиотека , если для любой сходящейся к Пределы последовательностей и функций - №10 - открытая онлайн библиотека последовательности значений аргумента, отличных от Пределы последовательностей и функций - №10 - открытая онлайн библиотека , соответствующая последовательность значений функции сходится к числу А, т. е.

Пределы последовательностей и функций - №19 - открытая онлайн библиотека .

Возможно иное определение предела функции в точке: число А называется пределом функции при Пределы последовательностей и функций - №20 - открытая онлайн библиотека , если для всякого положительного числа e можно указать другое положительное число d (зависящее от выбора e) такое, что абсолютная величина разности Пределы последовательностей и функций - №21 - открытая онлайн библиотека будет меньше e, когда абсолютная величина разности Пределы последовательностей и функций - №22 - открытая онлайн библиотека будет меньше Пределы последовательностей и функций - №23 - открытая онлайн библиотека , но больше нуля

Пределы последовательностей и функций - №19 - открытая онлайн библиотека , если Пределы последовательностей и функций - №25 - открытая онлайн библиотека при Пределы последовательностей и функций - №26 - открытая онлайн библиотека .

Таким образом, первое определение предела функции основано на понятии предела числовой последовательности, и его называют определением на «языке последовательностей». Второе определение носит название «на языке Пределы последовательностей и функций - №27 - открытая онлайн библиотека ».

Кроме понятия предела функции в точке, существует также понятие предела функции при стремлении аргумента к бесконечности: число А называется пределом функции Пределы последовательностей и функций - №15 - открытая онлайн библиотека при Пределы последовательностей и функций - №29 - открытая онлайн библиотека , если для любого числа Пределы последовательностей и функций - №30 - открытая онлайн библиотека существует такое число d, что при всех Пределы последовательностей и функций - №31 - открытая онлайн библиотека справедливо неравенство Пределы последовательностей и функций - №25 - открытая онлайн библиотека : Пределы последовательностей и функций - №33 - открытая онлайн библиотека .

Теоремы о пределах функций являются базой для общих правил нахождения пределов функций. Можно показать, что арифметические операции над функциями, имеющими предел в точке Пределы последовательностей и функций - №10 - открытая онлайн библиотека , приводят к функциям, также имеющим предел в этой точке.

Примеры

Найти предел функции Пределы последовательностей и функций - №35 - открытая онлайн библиотека

Решение: Имеем неопределенность вида Пределы последовательностей и функций - №36 - открытая онлайн библиотека . Для ее раскрытия разложим числитель и знаменатель на множители и сократим на общий множитель Пределы последовательностей и функций - №37 - открытая онлайн библиотека , который при Пределы последовательностей и функций - №38 - открытая онлайн библиотека не равен нулю. В результате неопределенность будет раскрыта.

Пределы последовательностей и функций - №39 - открытая онлайн библиотека