Интегрирование простейших дробей. Интегрирование рациональных дробей

Разложение дробной рациональной функции на простейшие дроби

Рациональной дробью R(x) называется дробь, числителем и знаменателем которой являются многочлены, т. Е. всякая дробь вида:

Интегрирование простейших дробей. Интегрирование рациональных дробей - №1 - открытая онлайн библиотека

Если степень многочлена в числителе больше или равна степени многочлена в знаменателе (n≥m), то дробь называется неправильной. Если степень многочлена в числителе меньше степени многочлена в знаменателе (n≤m), то дробь называется правильной.

Всякую неправильную рациональную дробь можно представить в виде суммы многочлена (целой части) и правильной рациональной дроби (это представление достигается путем деления числителя на знаменатель по правилу деления многочленов):

Интегрирование простейших дробей. Интегрирование рациональных дробей - №2 - открытая онлайн библиотека

где R(x) – многочлен-частное (целая часть) дроби Интегрирование простейших дробей. Интегрирование рациональных дробей - №3 - открытая онлайн библиотека ; Pn(x) – остаток (многочлен степени n < m).


Интегрирование простейших дробей. Простейшей дробью называется правильная рациональная дробь одного из следующих четырех типов:

1) Интегрирование простейших дробей. Интегрирование рациональных дробей - №4 - открытая онлайн библиотека

2) Интегрирование простейших дробей. Интегрирование рациональных дробей - №5 - открытая онлайн библиотека (n≥2);

3) Интегрирование простейших дробей. Интегрирование рациональных дробей - №6 - открытая онлайн библиотека

4) Интегрирование простейших дробей. Интегрирование рациональных дробей - №7 - открытая онлайн библиотека (n≥2).

Здесь А, a, p, q, M, N – действительные числа, а трехчлен не имеет действительных корней, т. е. p2/4-q < 0.

Простейшие дроби первого и второго типов интегрируются непосредственно с помощью основных правил интегрального исчисления:

Интегрирование простейших дробей. Интегрирование рациональных дробей - №8 - открытая онлайн библиотека

Интегрирование простейших дробей. Интегрирование рациональных дробей - №9 - открытая онлайн библиотека

Интеграл от простейшей дроби третьего типа приводится к табличным интегралам путем выделения в числителе дифференциала знаменателя и приведения знаменателя к сумме квадратов:

Интегрирование простейших дробей. Интегрирование рациональных дробей - №10 - открытая онлайн библиотека

Интегрирование простейших дробей. Интегрирование рациональных дробей - №11 - открытая онлайн библиотека

Интегрирование простейших дробей. Интегрирование рациональных дробей - №12 - открытая онлайн библиотека