Понятие несобственного интеграла второго рода

Для функции Понятие несобственного интеграла второго рода - №1 - открытая онлайн библиотеканепрерывной на промежутке Понятие несобственного интеграла второго рода - №2 - открытая онлайн библиотекаи терпящей бесконечный разрыв в точке Понятие несобственного интеграла второго рода - №3 - открытая онлайн библиотеканесобственным интегралом второго рода от функции Понятие несобственного интеграла второго рода - №1 - открытая онлайн библиотекана промежутке Понятие несобственного интеграла второго рода - №2 - открытая онлайн библиотеканазывается интеграл:

Понятие несобственного интеграла второго рода - №6 - открытая онлайн библиотека

Если предел в правой части существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся; в противном случае – расходящимся.

Аналогично определяется несобственный интеграл на промежутке Понятие несобственного интеграла второго рода - №7 - открытая онлайн библиотекафункции Понятие несобственного интеграла второго рода - №1 - открытая онлайн библиотекатерпящей бесконечный разрыв в точке Понятие несобственного интеграла второго рода - №9 - открытая онлайн библиотека

Понятие несобственного интеграла второго рода - №10 - открытая онлайн библиотека

Если функция Понятие несобственного интеграла второго рода - №1 - открытая онлайн библиотекатерпит бесконечный разрыв во внутренней точке с отрезка Понятие несобственного интеграла второго рода - №12 - открытая онлайн библиотекато несобственным интегралом второго рода от функции Понятие несобственного интеграла второго рода - №1 - открытая онлайн библиотека, которая имеет бесконечный разрыв во внутренней точке Понятие несобственного интеграла второго рода - №14 - открытая онлайн библиотека, определяется, как сумма несобственных интегралов второго рода по его частям Понятие несобственного интеграла второго рода - №15 - открытая онлайн библиотекаи Понятие несобственного интеграла второго рода - №16 - открытая онлайн библиотека

Понятие несобственного интеграла второго рода - №17 - открытая онлайн библиотека

Данный интеграл будет сходящимся только в том случае, если оба интеграла в правой части сходятся.

Понятие несобственного интеграла второго рода - №18 - открытая онлайн библиотека

Геометрическим смыслом сходящегося несобственного интеграла второго рода является площадь бесконечно высокой криволинейной трапеции (рис. 38).

Рис.38

Пример 8.13. Исследовать на сходимость интеграл Понятие несобственного интеграла второго рода - №19 - открытая онлайн библиотека

Решение. Подынтегральная функция имеет разрыв второго рода в точке Понятие несобственного интеграла второго рода - №20 - открытая онлайн библиотекаПоэтому,

Понятие несобственного интеграла второго рода - №21 - открытая онлайн библиотека

Следовательно, интеграл расходится.