Использование для выравнивания распределения опытной информации закона нормального распределения

Закон нормального распределения характеризуется дифференциальной (функцией плотностей вероятностей) и интегральной (функцией распределения) функциями. Отличительная особенность дифференциальной функции - симметричное рассеивание частных показателей надежности относительно среднего значения.

Дифференциальная функция описывается уравнением

Использование для выравнивания распределения опытной информации закона нормального распределения - №1 - открытая онлайн библиотека

Если Использование для выравнивания распределения опытной информации закона нормального распределения - №2 - открытая онлайн библиотека =0 и Использование для выравнивания распределения опытной информации закона нормального распределения - №3 - открытая онлайн библиотека , то получим уравнение для центрированной, нормированной дифференциальной функции.

Использование для выравнивания распределения опытной информации закона нормального распределения - №4 - открытая онлайн библиотека

Для определения дифференциальной функции через центрированную нормируемую дифференциальную функцию, используют уравнение:

f(t) = Использование для выравнивания распределения опытной информации закона нормального распределения - №5 - открытая онлайн библиотека ,

где А - длина интервала,

Использование для выравнивания распределения опытной информации закона нормального распределения - №6 - открытая онлайн библиотека - среднее квадратичное отклонение,

tci - значение середины i-го интервала,

t - среднее значение показателя надежности.

Кроме того, следует пользоваться уравнением

Определим значения дифференциальной функции во всех интервалах статистического ряда

Использование для выравнивания распределения опытной информации закона нормального распределения - №7 - открытая онлайн библиотека

Использование для выравнивания распределения опытной информации закона нормального распределения - №8 - открытая онлайн библиотека

Использование для выравнивания распределения опытной информации закона нормального распределения - №9 - открытая онлайн библиотека

Использование для выравнивания распределения опытной информации закона нормального распределения - №10 - открытая онлайн библиотека

Использование для выравнивания распределения опытной информации закона нормального распределения - №11 - открытая онлайн библиотека

Использование для выравнивания распределения опытной информации закона нормального распределения - №12 - открытая онлайн библиотека

Интегральная функция (функция распределения) ЗНР определяем по уравнению:

При ti=0 и Использование для выравнивания распределения опытной информации закона нормального распределения - №6 - открытая онлайн библиотека =1,00 ,то получим выражение для центрированной нормированной интегральной функции.

Для определения интегральной функции через центрированную нормированную функцию, используют уравнение

Использование для выравнивания распределения опытной информации закона нормального распределения - №14 - открытая онлайн библиотека

где Использование для выравнивания распределения опытной информации закона нормального распределения - №15 - открытая онлайн библиотека - значение конца i-го интервала.

При этом используют уравнение

Использование для выравнивания распределения опытной информации закона нормального распределения - №16 - открытая онлайн библиотека

Рассчитаем значения интегральной функции для всех интервалов статистического ряда

Использование для выравнивания распределения опытной информации закона нормального распределения - №17 - открытая онлайн библиотека

Использование для выравнивания распределения опытной информации закона нормального распределения - №18 - открытая онлайн библиотека

Использование для выравнивания распределения опытной информации закона нормального распределения - №19 - открытая онлайн библиотека

Использование для выравнивания распределения опытной информации закона нормального распределения - №20 - открытая онлайн библиотека

Использование для выравнивания распределения опытной информации закона нормального распределения - №21 - открытая онлайн библиотека

Использование для выравнивания распределения опытной информации закона нормального распределения - №22 - открытая онлайн библиотека

Рассчитанные значения функций сводим в таблицу

Таблица - Значения дифференциальной и интегральной функций при ЗНР

Интервал мотто-ч 1200-1484 1484-1768 1768-2052 2052-2336 2336-2620 2620-2904
f(t) 0,14 0,26 0,28 0,18 0,064 0,014
F(t) 0,21 0,46 0,74 0,91 0,98 1,00

На основании полученных дифференциальных и интегральных функций могут быть построены интегральные и дифференциальные кривые.

Дифференциальная кривая заменяет полигон, интегральная кривая заменяет кривую накопленных опытных вероятностей.

При построении дифференциальной кривой (рисунок 4) по оси абсцисс откладывают значение показателя надежности в определенном масштабе, а по оси ординат значение дифференциальной функции. Точки пересечения образуются значением дифференциальной функции по оси ординат и значением середины i-го интервала по оси абсцисс.

Использование для выравнивания распределения опытной информации закона нормального распределения - №23 - открытая онлайн библиотека

При построении интегральной кривой (рисунок 5) по оси абсцисс откладывают значение показателя надежности в определенном масштабе, а по оси ординат значением интегральной функции.

Использование для выравнивания распределения опытной информации закона нормального распределения - №24 - открытая онлайн библиотека

Определим число двигателей, потребующих ремонта в интервале наработки от 1700 - 2200 мото-ч.

Решение:

по дифференциальной функции:

Использование для выравнивания распределения опытной информации закона нормального распределения - №25 - открытая онлайн библиотека .

Использование для выравнивания распределения опытной информации закона нормального распределения - №26 - открытая онлайн библиотека = 0,47∙29≈ 14 двиг.

по интегральной функции

Использование для выравнивания распределения опытной информации закона нормального распределения - №27 - открытая онлайн библиотека

Использование для выравнивания распределения опытной информации закона нормального распределения - №26 - открытая онлайн библиотека = 0,44∙29≈ 13 двиг.

Использование для выравнивания распределения опытной информации закона распределения Вейбулла

Дифференциальную функцию или функцию плотностей вероятностей ЗРВ описывают уравнение

Использование для выравнивания распределения опытной информации закона нормального распределения - №29 - открытая онлайн библиотека ,

где a,b - параметры ЗРВ.

Параметр b определяют по таблице 3. Из таблицы выписывают параметр b коэффициенты kb и cb , предварительно посчитав коэффициент вариации.

При V=0,54; b= 1,4; kb=0,91; Сb=0,66.

Параметр a рассчитывают по одному из уравнений

Использование для выравнивания распределения опытной информации закона нормального распределения - №30 - открытая онлайн библиотека или Использование для выравнивания распределения опытной информации закона нормального распределения - №31 - открытая онлайн библиотека ,

Отсюда получаем

Использование для выравнивания распределения опытной информации закона нормального распределения - №32 - открытая онлайн библиотека мото-ч

Дифференциальную функцию при ЗРВ определяют по таблице 5, используя уравнение

Использование для выравнивания распределения опытной информации закона нормального распределения - №33 - открытая онлайн библиотека

где А - длина интервала статистического ряда;

Использование для выравнивания распределения опытной информации закона нормального распределения - №34 - открытая онлайн библиотека - середина интервала статистического ряда;

С - смещение начала рассеяния.

Рассчитаем значения функции во всех интервалах статистического ряда

Использование для выравнивания распределения опытной информации закона нормального распределения - №35 - открытая онлайн библиотека

Использование для выравнивания распределения опытной информации закона нормального распределения - №36 - открытая онлайн библиотека

Использование для выравнивания распределения опытной информации закона нормального распределения - №37 - открытая онлайн библиотека

Использование для выравнивания распределения опытной информации закона нормального распределения - №38 - открытая онлайн библиотека

Использование для выравнивания распределения опытной информации закона нормального распределения - №39 - открытая онлайн библиотека

Использование для выравнивания распределения опытной информации закона нормального распределения - №40 - открытая онлайн библиотека

Интегральную функцию или функцию ЗРВ определяют по уравнению

Использование для выравнивания распределения опытной информации закона нормального распределения - №41 - открытая онлайн библиотека

Интегральная функция приведена в таблице 6. При этом используют уравнение

Использование для выравнивания распределения опытной информации закона нормального распределения - №42 - открытая онлайн библиотека

Определяем значения интегральной функции во всех интервалах статистического ряда

Использование для выравнивания распределения опытной информации закона нормального распределения - №43 - открытая онлайн библиотека

Использование для выравнивания распределения опытной информации закона нормального распределения - №44 - открытая онлайн библиотека

Использование для выравнивания распределения опытной информации закона нормального распределения - №45 - открытая онлайн библиотека

Использование для выравнивания распределения опытной информации закона нормального распределения - №46 - открытая онлайн библиотека

Использование для выравнивания распределения опытной информации закона нормального распределения - №47 - открытая онлайн библиотека

Использование для выравнивания распределения опытной информации закона нормального распределения - №48 - открытая онлайн библиотека

Рассчитанные значения функций сводим в таблицу

Таблица - Значения дифференциальной и интегральной функций при ЗРВ

Интервал мотто-ч 1200-1484 1484-1768 1768-2052 2052-2336 2336-2620 2620-2904
f(t) 0,21 0,28 0,23 0,14 0,078 0,026
F(t) 0,25 0,53 0,75 0,9 0,96 0,99

На основании полученных значений f(t) и F(t) могут быть построен графики дифференциальных и интегральных функций закона распределения Вейбулла.

При построении дифференциальной кривой (рисунок 6) по оси абсцисс откладывают значение показателя надежности в определенном масштабе, а по оси ординат значение дифференциальной функции. Точки пересечения образуются значением дифференциальной функции по сои ординат и значением середины i-го интервала по оси абсцисс.

Использование для выравнивания распределения опытной информации закона нормального распределения - №49 - открытая онлайн библиотека

Рисунок 6. Дифференциальная кривая

При построении интегральной кривой (рисунок 7) по оси абсцисс откладывают значение показателя надежности в определенном масштабе, а по оси ординат значением интегральной функции.

Использование для выравнивания распределения опытной информации закона нормального распределения - №50 - открытая онлайн библиотека

Рисунок 7. Интегральная кривая

Определим число двигателей, требующих ремонта в интервале наработки от 1700 - 2200 мото-ч.

Решение:

по дифференциальной функции:

Использование для выравнивания распределения опытной информации закона нормального распределения - №51 - открытая онлайн библиотека .

Использование для выравнивания распределения опытной информации закона нормального распределения - №26 - открытая онлайн библиотека = 0,4∙29≈ 12 двиг.

по интегральной функции

Использование для выравнивания распределения опытной информации закона нормального распределения - №53 - открытая онлайн библиотека

Использование для выравнивания распределения опытной информации закона нормального распределения - №26 - открытая онлайн библиотека = 0,38∙29≈ 12 двиг.