Интегрирование рациональных дробей. Методика интегрирования правильных дробей основана на представлении знаменателя в виде произведения линейных выражений (возможно в целых положительных

Методика интегрирования правильных дробей основана на представлении знаменателя в виде произведения линейных выражений (возможно в целых положительных степенях) и квадратичных сомножителей с отрицательными дискриминантами (возможно в целых степенях). Известен алгебраический результат, что такое представление всегда возможно.

Интегрирование рациональных дробей. Методика интегрирования правильных дробей основана на представлении знаменателя в виде произведения линейных выражений (возможно в целых положительных - №1 - открытая онлайн библиотека

Интегрирование рациональных дробей. Методика интегрирования правильных дробей основана на представлении знаменателя в виде произведения линейных выражений (возможно в целых положительных - №2 - открытая онлайн библиотека .

Вообще говоря, получение такого представления для многочленов высоких степеней является сложной задачей. Мы в дальнейшем будем считать, что знаменатель уже представлен в таком виде. Известен алгебраический результат, что любая правильная дробь может быть представлена в виде суммы простейших дробей, интегралы от которых легко находятся. При этом каждому линейному сомножителю вида Интегрирование рациональных дробей. Методика интегрирования правильных дробей основана на представлении знаменателя в виде произведения линейных выражений (возможно в целых положительных - №3 - открытая онлайн библиотека в знаменателе соответствует группа простейших дробей вида:

Интегрирование рациональных дробей. Методика интегрирования правильных дробей основана на представлении знаменателя в виде произведения линейных выражений (возможно в целых положительных - №4 - открытая онлайн библиотека .

В частности при Интегрирование рациональных дробей. Методика интегрирования правильных дробей основана на представлении знаменателя в виде произведения линейных выражений (возможно в целых положительных - №5 - открытая онлайн библиотека имеем только одно слагаемое: Интегрирование рациональных дробей. Методика интегрирования правильных дробей основана на представлении знаменателя в виде произведения линейных выражений (возможно в целых положительных - №6 - открытая онлайн библиотека .

Каждому квадратичному сомножителю Интегрирование рациональных дробей. Методика интегрирования правильных дробей основана на представлении знаменателя в виде произведения линейных выражений (возможно в целых положительных - №7 - открытая онлайн библиотека соответствует группа дробей вида:

Интегрирование рациональных дробей. Методика интегрирования правильных дробей основана на представлении знаменателя в виде произведения линейных выражений (возможно в целых положительных - №8 - открытая онлайн библиотека ,

а при Интегрирование рациональных дробей. Методика интегрирования правильных дробей основана на представлении знаменателя в виде произведения линейных выражений (возможно в целых положительных - №5 - открытая онлайн библиотека - одно слагаемое Интегрирование рациональных дробей. Методика интегрирования правильных дробей основана на представлении знаменателя в виде произведения линейных выражений (возможно в целых положительных - №10 - открытая онлайн библиотека .

Рассмотрим примеры разложения правильной дроби на простейшие:

Пример 20 Интегрирование рациональных дробей. Методика интегрирования правильных дробей основана на представлении знаменателя в виде произведения линейных выражений (возможно в целых положительных - №11 - открытая онлайн библиотека .

Пример 21 Интегрирование рациональных дробей. Методика интегрирования правильных дробей основана на представлении знаменателя в виде произведения линейных выражений (возможно в целых положительных - №12 - открытая онлайн библиотека .

Пример 22 Интегрирование рациональных дробей. Методика интегрирования правильных дробей основана на представлении знаменателя в виде произведения линейных выражений (возможно в целых положительных - №13 - открытая онлайн библиотека

Интегрирование рациональных дробей. Методика интегрирования правильных дробей основана на представлении знаменателя в виде произведения линейных выражений (возможно в целых положительных - №14 - открытая онлайн библиотека .

Пример 23 Интегрирование рациональных дробей. Методика интегрирования правильных дробей основана на представлении знаменателя в виде произведения линейных выражений (возможно в целых положительных - №15 - открытая онлайн библиотека .

Пример 24 Интегрирование рациональных дробей. Методика интегрирования правильных дробей основана на представлении знаменателя в виде произведения линейных выражений (возможно в целых положительных - №16 - открытая онлайн библиотека .

Теоретически гарантируется, что все выписанные разложения справедливы. Остается научиться находить постоянные А, В, С … . Предположим, что указанные константы найдены. Тогда интегрирование правильной дроби сведется к нахождению интегралов вида:

I Интегрирование рациональных дробей. Методика интегрирования правильных дробей основана на представлении знаменателя в виде произведения линейных выражений (возможно в целых положительных - №17 - открытая онлайн библиотека , III Интегрирование рациональных дробей. Методика интегрирования правильных дробей основана на представлении знаменателя в виде произведения линейных выражений (возможно в целых положительных - №18 - открытая онлайн библиотека ,

II Интегрирование рациональных дробей. Методика интегрирования правильных дробей основана на представлении знаменателя в виде произведения линейных выражений (возможно в целых положительных - №19 - открытая онлайн библиотека , Интегрирование рациональных дробей. Методика интегрирования правильных дробей основана на представлении знаменателя в виде произведения линейных выражений (возможно в целых положительных - №20 - открытая онлайн библиотека , IV Интегрирование рациональных дробей. Методика интегрирования правильных дробей основана на представлении знаменателя в виде произведения линейных выражений (возможно в целых положительных - №21 - открытая онлайн библиотека .

Интегралы I и II видов табличные, интегралы III вида рассмотрены в предыдущей теме, интегралы IV вида вычисляются по той же схеме, что и III вида, но в отличие от них после выделения полного квадрата возникают интегралы вида:

Интегрирование рациональных дробей. Методика интегрирования правильных дробей основана на представлении знаменателя в виде произведения линейных выражений (возможно в целых положительных - №22 - открытая онлайн библиотека ,

которые находятся по рекуррентной формуле:

Интегрирование рациональных дробей. Методика интегрирования правильных дробей основана на представлении знаменателя в виде произведения линейных выражений (возможно в целых положительных - №23 - открытая онлайн библиотека .

Перейдем к рассмотрению конкретных примеров вычисления интегралов от правильных рациональных дробей. Сначала рассмотрим наиболее простой случай, когда знаменатель содержит только некратные линейные множители.

Пример 25 Интегрирование рациональных дробей. Методика интегрирования правильных дробей основана на представлении знаменателя в виде произведения линейных выражений (возможно в целых положительных - №24 - открытая онлайн библиотека .

Решение.

Интегрирование рациональных дробей. Методика интегрирования правильных дробей основана на представлении знаменателя в виде произведения линейных выражений (возможно в целых положительных - №25 - открытая онлайн библиотека .

После приведения к общему знаменателю получим следующее тождество для числителей:

Интегрирование рациональных дробей. Методика интегрирования правильных дробей основана на представлении знаменателя в виде произведения линейных выражений (возможно в целых положительных - №26 - открытая онлайн библиотека .

Этим тождеством мы и воспользуемся для нахождения коэффициентов А, В и С.

Если в данном тождестве в качестве Интегрирование рациональных дробей. Методика интегрирования правильных дробей основана на представлении знаменателя в виде произведения линейных выражений (возможно в целых положительных - №27 - открытая онлайн библиотека взять конкретное значение, то получим линейное уравнение относительно А, В и С. Таких уравнений нам нужно три. Полученную систему можно решить, например, методом Гаусса. Однако можно гораздо легче найти коэффициенты, если в качестве Интегрирование рациональных дробей. Методика интегрирования правильных дробей основана на представлении знаменателя в виде произведения линейных выражений (возможно в целых положительных - №27 - открытая онлайн библиотека брать не произвольные числа, а корни линейных сомножителей в знаменателе. При этом в правой части тождества будет присутствовать только один из неизвестных коэффициентов.

Интегрирование рациональных дробей. Методика интегрирования правильных дробей основана на представлении знаменателя в виде произведения линейных выражений (возможно в целых положительных - №29 - открытая онлайн библиотека

Интегрирование рациональных дробей. Методика интегрирования правильных дробей основана на представлении знаменателя в виде произведения линейных выражений (возможно в целых положительных - №30 - открытая онлайн библиотека

Интегрирование рациональных дробей. Методика интегрирования правильных дробей основана на представлении знаменателя в виде произведения линейных выражений (возможно в целых положительных - №31 - открытая онлайн библиотека

В результате получим:

Интегрирование рациональных дробей. Методика интегрирования правильных дробей основана на представлении знаменателя в виде произведения линейных выражений (возможно в целых положительных - №32 - открытая онлайн библиотека

Интегрирование рациональных дробей. Методика интегрирования правильных дробей основана на представлении знаменателя в виде произведения линейных выражений (возможно в целых положительных - №33 - открытая онлайн библиотека .

Если знаменатель содержит квадратичные сомножители, то всегда нужно проверять, не будет ли D неотрицательным. Если да, то лучше разбить его на линейные сомножители.

Пример 26 Интегрирование рациональных дробей. Методика интегрирования правильных дробей основана на представлении знаменателя в виде произведения линейных выражений (возможно в целых положительных - №34 - открытая онлайн библиотека .

Решение.

Интегрирование рациональных дробей. Методика интегрирования правильных дробей основана на представлении знаменателя в виде произведения линейных выражений (возможно в целых положительных - №35 - открытая онлайн библиотека

Интегрирование рациональных дробей. Методика интегрирования правильных дробей основана на представлении знаменателя в виде произведения линейных выражений (возможно в целых положительных - №36 - открытая онлайн библиотека .

Завершите самостоятельно вычисление данного интеграла.

Перейдем к рассмотрению чуть более сложного случая, когда знаменатель содержит только линейные сомножители, причем некоторые из них кратные.

Пример 27 Интегрирование рациональных дробей. Методика интегрирования правильных дробей основана на представлении знаменателя в виде произведения линейных выражений (возможно в целых положительных - №37 - открытая онлайн библиотека .

Решение.

Интегрирование рациональных дробей. Методика интегрирования правильных дробей основана на представлении знаменателя в виде произведения линейных выражений (возможно в целых положительных - №38 - открытая онлайн библиотека

Интегрирование рациональных дробей. Методика интегрирования правильных дробей основана на представлении знаменателя в виде произведения линейных выражений (возможно в целых положительных - №39 - открытая онлайн библиотека .

Положив последовательно Интегрирование рациональных дробей. Методика интегрирования правильных дробей основана на представлении знаменателя в виде произведения линейных выражений (возможно в целых положительных - №40 - открытая онлайн библиотека и Интегрирование рациональных дробей. Методика интегрирования правильных дробей основана на представлении знаменателя в виде произведения линейных выражений (возможно в целых положительных - №41 - открытая онлайн библиотека , легко найдем два неизвестных коэффициента:

Интегрирование рациональных дробей. Методика интегрирования правильных дробей основана на представлении знаменателя в виде произведения линейных выражений (возможно в целых положительных - №42 - открытая онлайн библиотека

Остальные два найдем, приравняв коэффициенты при одинаковых степенях левой и правой частей тождества:

Интегрирование рациональных дробей. Методика интегрирования правильных дробей основана на представлении знаменателя в виде произведения линейных выражений (возможно в целых положительных - №43 - открытая онлайн библиотека

Тогда

Интегрирование рациональных дробей. Методика интегрирования правильных дробей основана на представлении знаменателя в виде произведения линейных выражений (возможно в целых положительных - №44 - открытая онлайн библиотека

Интегрирование рациональных дробей. Методика интегрирования правильных дробей основана на представлении знаменателя в виде произведения линейных выражений (возможно в целых положительных - №45 - открытая онлайн библиотека .

Рассмотрим теперь случай, когда знаменатель содержит некратные квадратичные сомножители с отрицательным дискриминантом.

Интегрирование рациональных дробей. Методика интегрирования правильных дробей основана на представлении знаменателя в виде произведения линейных выражений (возможно в целых положительных - №46 - открытая онлайн библиотека Пример 28 Интегрирование рациональных дробей. Методика интегрирования правильных дробей основана на представлении знаменателя в виде произведения линейных выражений (возможно в целых положительных - №47 - открытая онлайн библиотека .

Решение.

Интегрирование рациональных дробей. Методика интегрирования правильных дробей основана на представлении знаменателя в виде произведения линейных выражений (возможно в целых положительных - №48 - открытая онлайн библиотека .

Интегрирование рациональных дробей. Методика интегрирования правильных дробей основана на представлении знаменателя в виде произведения линейных выражений (возможно в целых положительных - №49 - открытая онлайн библиотека .

Положим Интегрирование рациональных дробей. Методика интегрирования правильных дробей основана на представлении знаменателя в виде произведения линейных выражений (возможно в целых положительных - №50 - открытая онлайн библиотека :

Интегрирование рациональных дробей. Методика интегрирования правильных дробей основана на представлении знаменателя в виде произведения линейных выражений (возможно в целых положительных - №51 - открытая онлайн библиотека

Остальные неизвестные найдем, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях:

Интегрирование рациональных дробей. Методика интегрирования правильных дробей основана на представлении знаменателя в виде произведения линейных выражений (возможно в целых положительных - №52 - открытая онлайн библиотека

Тогда

Интегрирование рациональных дробей. Методика интегрирования правильных дробей основана на представлении знаменателя в виде произведения линейных выражений (возможно в целых положительных - №53 - открытая онлайн библиотека

Интегрирование рациональных дробей. Методика интегрирования правильных дробей основана на представлении знаменателя в виде произведения линейных выражений (возможно в целых положительных - №54 - открытая онлайн библиотека

Интегрирование рациональных дробей. Методика интегрирования правильных дробей основана на представлении знаменателя в виде произведения линейных выражений (возможно в целых положительных - №55 - открытая онлайн библиотека Интегрирование рациональных дробей. Методика интегрирования правильных дробей основана на представлении знаменателя в виде произведения линейных выражений (возможно в целых положительных - №56 - открытая онлайн библиотека

Интегрирование рациональных дробей. Методика интегрирования правильных дробей основана на представлении знаменателя в виде произведения линейных выражений (возможно в целых положительных - №57 - открытая онлайн библиотека

Вопросы для самопроверки

1. Что называется первообразной?

2. Сформулируйте основные свойства неопределенного интеграла.

3. В чем заключается метод замены переменной?

4. Какие функции целесообразно интегрировать по частям? Почему?

5. Как разложить рациональную дробь на простейшие?