Тема: Интегрирование простейших рациональных дробей. Интегрирование тригонометрических выражений

3.1. Интегрирование простейших рациональных дробей.

Тема: Интегрирование простейших рациональных дробей. Интегрирование тригонометрических выражений - №1 - открытая онлайн библиотека

Тема: Интегрирование простейших рациональных дробей. Интегрирование тригонометрических выражений - №2 - открытая онлайн библиотека

Тема: Интегрирование простейших рациональных дробей. Интегрирование тригонометрических выражений - №3 - открытая онлайн библиотека Тема: Интегрирование простейших рациональных дробей. Интегрирование тригонометрических выражений - №4 - открытая онлайн библиотека

Выделим в числителе производную знаменателя

Тема: Интегрирование простейших рациональных дробей. Интегрирование тригонометрических выражений - №5 - открытая онлайн библиотека

Тема: Интегрирование простейших рациональных дробей. Интегрирование тригонометрических выражений - №6 - открытая онлайн библиотека

Тема: Интегрирование простейших рациональных дробей. Интегрирование тригонометрических выражений - №7 - открытая онлайн библиотека

В подынтегральной функции в знаменателе выделим полный квадрат

Тема: Интегрирование простейших рациональных дробей. Интегрирование тригонометрических выражений - №8 - открытая онлайн библиотека

Тема: Интегрирование простейших рациональных дробей. Интегрирование тригонометрических выражений - №9 - открытая онлайн библиотека

Сначала в числителе выделим производную квадратного трехчлена

Тема: Интегрирование простейших рациональных дробей. Интегрирование тригонометрических выражений - №10 - открытая онлайн библиотека

Тема: Интегрирование простейших рациональных дробей. Интегрирование тригонометрических выражений - №11 - открытая онлайн библиотека

В последнем интеграле сделаем замену переменной Тема: Интегрирование простейших рациональных дробей. Интегрирование тригонометрических выражений - №12 - открытая онлайн библиотека

Тема: Интегрирование простейших рациональных дробей. Интегрирование тригонометрических выражений - №13 - открытая онлайн библиотека

Нам остается вычислить интеграл

Тема: Интегрирование простейших рациональных дробей. Интегрирование тригонометрических выражений - №14 - открытая онлайн библиотека

К последнему интегралу применим формулу интегрирования по частям

Тема: Интегрирование простейших рациональных дробей. Интегрирование тригонометрических выражений - №15 - открытая онлайн библиотека

В результате получим

Тема: Интегрирование простейших рациональных дробей. Интегрирование тригонометрических выражений - №16 - открытая онлайн библиотека

Итак, мы получили рекуррентную (возвратную) формулу

Тема: Интегрирование простейших рациональных дробей. Интегрирование тригонометрических выражений - №17 - открытая онлайн библиотека

Применяя рекуррентную формулу вычисления интеграла Тема: Интегрирование простейших рациональных дробей. Интегрирование тригонометрических выражений - №18 - открытая онлайн библиотека можно свести к вычислению интеграла Тема: Интегрирование простейших рациональных дробей. Интегрирование тригонометрических выражений - №19 - открытая онлайн библиотека

Тема: Интегрирование простейших рациональных дробей. Интегрирование тригонометрических выражений - №20 - открытая онлайн библиотека

Пример. Вычислить. Тема: Интегрирование простейших рациональных дробей. Интегрирование тригонометрических выражений - №21 - открытая онлайн библиотека . В данном интеграле Тема: Интегрирование простейших рациональных дробей. Интегрирование тригонометрических выражений - №22 - открытая онлайн библиотека

Тема: Интегрирование простейших рациональных дробей. Интегрирование тригонометрических выражений - №23 - открытая онлайн библиотека , где Тема: Интегрирование простейших рациональных дробей. Интегрирование тригонометрических выражений - №24 - открытая онлайн библиотека .

Для вычисления Тема: Интегрирование простейших рациональных дробей. Интегрирование тригонометрических выражений - №25 - открытая онлайн библиотека снова применим рекуррентную формулу, где Тема: Интегрирование простейших рациональных дробей. Интегрирование тригонометрических выражений - №26 - открытая онлайн библиотека .

Тема: Интегрирование простейших рациональных дробей. Интегрирование тригонометрических выражений - №27 - открытая онлайн библиотека

Учитывая полученное, будем иметь:

Тема: Интегрирование простейших рациональных дробей. Интегрирование тригонометрических выражений - №28 - открытая онлайн библиотека

Пример. Вычислить интеграл Тема: Интегрирование простейших рациональных дробей. Интегрирование тригонометрических выражений - №29 - открытая онлайн библиотека . Во-первых, отметим, что подынтегральная функция является неправильной рациональной дробью, т.к. степень числителя больше степени знаменателя, поэтому поделим числитель на знаменатель и представим данную неправильную рациональную дробь в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби.

Тема: Интегрирование простейших рациональных дробей. Интегрирование тригонометрических выражений - №30 - открытая онлайн библиотека
Итак, имеем:

Тема: Интегрирование простейших рациональных дробей. Интегрирование тригонометрических выражений - №31 - открытая онлайн библиотека

Тема: Интегрирование простейших рациональных дробей. Интегрирование тригонометрических выражений - №32 - открытая онлайн библиотека

Теперь остается вычислить интеграл Тема: Интегрирование простейших рациональных дробей. Интегрирование тригонометрических выражений - №33 - открытая онлайн библиотека от правильной рациональной дроби. Для этого подынтегральную правильную рациональную дробь представили в виде суммы простейших рациональных дробей

Тема: Интегрирование простейших рациональных дробей. Интегрирование тригонометрических выражений - №34 - открытая онлайн библиотека

Тема: Интегрирование простейших рациональных дробей. Интегрирование тригонометрических выражений - №35 - открытая онлайн библиотека

Тема: Интегрирование простейших рациональных дробей. Интегрирование тригонометрических выражений - №36 - открытая онлайн библиотека

Тема: Интегрирование простейших рациональных дробей. Интегрирование тригонометрических выражений - №37 - открытая онлайн библиотека

Учитывая полученный результат, будем иметь:

Тема: Интегрирование простейших рациональных дробей. Интегрирование тригонометрических выражений - №38 - открытая онлайн библиотека

3.2. Интегрирование тригонометрических выражений.

Мы будем рассматривать

Тема: Интегрирование простейших рациональных дробей. Интегрирование тригонометрических выражений - №39 - открытая онлайн библиотека , где Тема: Интегрирование простейших рациональных дробей. Интегрирование тригонометрических выражений - №40 - открытая онлайн библиотека есть рациональная функция от Тема: Интегрирование простейших рациональных дробей. Интегрирование тригонометрических выражений - №41 - открытая онлайн библиотека и Тема: Интегрирование простейших рациональных дробей. Интегрирование тригонометрических выражений - №42 - открытая онлайн библиотека . Т.е. если положить Тема: Интегрирование простейших рациональных дробей. Интегрирование тригонометрических выражений - №43 - открытая онлайн библиотека , a Тема: Интегрирование простейших рациональных дробей. Интегрирование тригонометрических выражений - №44 - открытая онлайн библиотека , то Тема: Интегрирование простейших рациональных дробей. Интегрирование тригонометрических выражений - №45 - открытая онлайн библиотека есть отношение двух многочленов от Тема: Интегрирование простейших рациональных дробей. Интегрирование тригонометрических выражений - №46 - открытая онлайн библиотека .

Например:

Тема: Интегрирование простейших рациональных дробей. Интегрирование тригонометрических выражений - №47 - открытая онлайн библиотека

Далее функция

Тема: Интегрирование простейших рациональных дробей. Интегрирование тригонометрических выражений - №48 - открытая онлайн библиотека не является рациональной функцией от Тема: Интегрирование простейших рациональных дробей. Интегрирование тригонометрических выражений - №41 - открытая онлайн библиотека и Тема: Интегрирование простейших рациональных дробей. Интегрирование тригонометрических выражений - №42 - открытая онлайн библиотека , т.к. Тема: Интегрирование простейших рациональных дробей. Интегрирование тригонометрических выражений - №41 - открытая онлайн библиотека входит под знак корня.

3.2.1. Универсальная подстановка.

Интеграл Тема: Интегрирование простейших рациональных дробей. Интегрирование тригонометрических выражений - №52 - открытая онлайн библиотека с помощью подстановки Тема: Интегрирование простейших рациональных дробей. Интегрирование тригонометрических выражений - №53 - открытая онлайн библиотека всегда сводится к интегралу от рациональной функции:

Тема: Интегрирование простейших рациональных дробей. Интегрирование тригонометрических выражений - №54 - открытая онлайн библиотека

Тема: Интегрирование простейших рациональных дробей. Интегрирование тригонометрических выражений - №55 - открытая онлайн библиотека

Тема: Интегрирование простейших рациональных дробей. Интегрирование тригонометрических выражений - №56 - открытая онлайн библиотека

В результате получаем:

Тема: Интегрирование простейших рациональных дробей. Интегрирование тригонометрических выражений - №57 - открытая онлайн библиотека

Пример. Вычислить интеграл Тема: Интегрирование простейших рациональных дробей. Интегрирование тригонометрических выражений - №58 - открытая онлайн библиотека , пользуясь указанной заменой переменной Тема: Интегрирование простейших рациональных дробей. Интегрирование тригонометрических выражений - №59 - открытая онлайн библиотека , Тема: Интегрирование простейших рациональных дробей. Интегрирование тригонометрических выражений - №60 - открытая онлайн библиотека , Тема: Интегрирование простейших рациональных дробей. Интегрирование тригонометрических выражений - №61 - открытая онлайн библиотека , получим:

Тема: Интегрирование простейших рациональных дробей. Интегрирование тригонометрических выражений - №62 - открытая онлайн библиотека

Пример. Вычислить интеграл Тема: Интегрирование простейших рациональных дробей. Интегрирование тригонометрических выражений - №63 - открытая онлайн библиотека

Тема: Интегрирование простейших рациональных дробей. Интегрирование тригонометрических выражений - №64 - открытая онлайн библиотека

3.2.2. Теперь предположим, что Тема: Интегрирование простейших рациональных дробей. Интегрирование тригонометрических выражений - №65 - открытая онлайн библиотека , т.е. подынтегральная функция нечетная относительно Тема: Интегрирование простейших рациональных дробей. Интегрирование тригонометрических выражений - №42 - открытая онлайн библиотека . В этом случае имеем:

Тема: Интегрирование простейших рациональных дробей. Интегрирование тригонометрических выражений - №67 - открытая онлайн библиотека

В этом случае была сделана замена Тема: Интегрирование простейших рациональных дробей. Интегрирование тригонометрических выражений - №68 - открытая онлайн библиотека , и вычисление данного интеграла сводится к вычислению интеграла от рациональной функции.

Пример. Вычислить интеграл:

Тема: Интегрирование простейших рациональных дробей. Интегрирование тригонометрических выражений - №69 - открытая онлайн библиотека

3.2.3. Пусть Тема: Интегрирование простейших рациональных дробей. Интегрирование тригонометрических выражений - №70 - открытая онлайн библиотека , т.е. подынтегральная функция нечетная относительно Тема: Интегрирование простейших рациональных дробей. Интегрирование тригонометрических выражений - №71 - открытая онлайн библиотека . В этом случае замена Тема: Интегрирование простейших рациональных дробей. Интегрирование тригонометрических выражений - №72 - открытая онлайн библиотека сводит вычисление Тема: Интегрирование простейших рациональных дробей. Интегрирование тригонометрических выражений - №73 - открытая онлайн библиотека к вычислению интеграла от рациональной функции.

3.2.4. Теперь рассмотрим тот случай, когда

Тема: Интегрирование простейших рациональных дробей. Интегрирование тригонометрических выражений - №74 - открытая онлайн библиотека , т.е. подынтегральная функция четная относительно Тема: Интегрирование простейших рациональных дробей. Интегрирование тригонометрических выражений - №75 - открытая онлайн библиотека и Тема: Интегрирование простейших рациональных дробей. Интегрирование тригонометрических выражений - №76 - открытая онлайн библиотека одновременно. В этом случае замена Тема: Интегрирование простейших рациональных дробей. Интегрирование тригонометрических выражений - №77 - открытая онлайн библиотека позволяет свести вычисление интеграла Тема: Интегрирование простейших рациональных дробей. Интегрирование тригонометрических выражений - №78 - открытая онлайн библиотека к вычислению интеграла от рациональной функции. В самом деле,

Тема: Интегрирование простейших рациональных дробей. Интегрирование тригонометрических выражений - №79 - открытая онлайн библиотека , т.к.

Тема: Интегрирование простейших рациональных дробей. Интегрирование тригонометрических выражений - №80 - открытая онлайн библиотека , то функция Тема: Интегрирование простейших рациональных дробей. Интегрирование тригонометрических выражений - №81 - открытая онлайн библиотека является четной относительно Тема: Интегрирование простейших рациональных дробей. Интегрирование тригонометрических выражений - №82 - открытая онлайн библиотека , поэтому Тема: Интегрирование простейших рациональных дробей. Интегрирование тригонометрических выражений - №83 - открытая онлайн библиотека и

Тема: Интегрирование простейших рациональных дробей. Интегрирование тригонометрических выражений - №84 - открытая онлайн библиотека .

Тема: Интегрирование простейших рациональных дробей. Интегрирование тригонометрических выражений - №85 - открытая онлайн библиотека

В результате замены переменной получим:

Тема: Интегрирование простейших рациональных дробей. Интегрирование тригонометрических выражений - №86 - открытая онлайн библиотека

Пример. Вычислить интеграл Тема: Интегрирование простейших рациональных дробей. Интегрирование тригонометрических выражений - №87 - открытая онлайн библиотека .

Подынтегральная функция является четной относительно Тема: Интегрирование простейших рациональных дробей. Интегрирование тригонометрических выражений - №41 - открытая онлайн библиотека и Тема: Интегрирование простейших рациональных дробей. Интегрирование тригонометрических выражений - №42 - открытая онлайн библиотека одновременно. Поэтому можно применить подстановку: Тема: Интегрирование простейших рациональных дробей. Интегрирование тригонометрических выражений - №90 - открытая онлайн библиотека , Тема: Интегрирование простейших рациональных дробей. Интегрирование тригонометрических выражений - №91 - открытая онлайн библиотека . Имеем:

Тема: Интегрирование простейших рациональных дробей. Интегрирование тригонометрических выражений - №92 - открытая онлайн библиотека

В последнем интеграле подынтегральная функция является правильной рациональной дробью, которую представим в виде суммы простейших рациональных дробей

Тема: Интегрирование простейших рациональных дробей. Интегрирование тригонометрических выражений - №93 - открытая онлайн библиотека

Тема: Интегрирование простейших рациональных дробей. Интегрирование тригонометрических выражений - №94 - открытая онлайн библиотека

Тема: Интегрирование простейших рациональных дробей. Интегрирование тригонометрических выражений - №95 - открытая онлайн библиотека