Завдання 1. На підприємстві мається одна площадка для розвантаження машин, що привозять сировину, і площадка для очікування на m машин

На підприємстві мається одна площадка для розвантаження машин, що привозять сировину, і площадка для очікування на m машин. Якщо всі місця на площадці очікування зайняті, то наступній машині, що прибула на підприємство, немає місця для очікування. Аналітично було з’ясовано, що на підприємство в середньому за хвилину прибуває потік машин інтенсивністю l, а потік обслугування з інтенсивністю m визначається тривалістю розвантаження.

Менеджера цікавить ймовірність відмови в обслуговуванні і середній час очікування в залежності від місць m.

Розв’язання

Дану задачу можна представити у вигляді одноканальної системи з обмеженою чергою. Число місць у черзі m. Якщо усі місця зайняті, то чергове замовлення, що надходить у систему, отримує відмову. Граф станів такої системи:

l l l l

       
   
 

Завдання 1. На підприємстві мається одна площадка для розвантаження машин, що привозять сировину, і площадка для очікування на m машин - №3 - открытая онлайн библиотекаЗавдання 1. На підприємстві мається одна площадка для розвантаження машин, що привозять сировину, і площадка для очікування на m машин - №4 - открытая онлайн библиотекаЗавдання 1. На підприємстві мається одна площадка для розвантаження машин, що привозять сировину, і площадка для очікування на m машин - №5 - открытая онлайн библиотекаЗавдання 1. На підприємстві мається одна площадка для розвантаження машин, що привозять сировину, і площадка для очікування на m машин - №4 - открытая онлайн библиотека

m m m m

Рис.8.

Стани системи:

S0 – канал вільний;

S1 – канал зайнятий, іде обслугування, але черги немає;

S2 – канал зайнятий, у черзі є одне замовлення;

S3 - канал зайнятий, у черзі - два замовлення;

Sm+1 – канал зайнятий, у черзі знаходиться m замовлень.

Рівняння Колмогорова для такої системи:

l p0 = m p1 ;

( l + m ) p1 = l p0 + m p2 ;

… …

( l + m ) pm = l pm-1 + m pm+1 ;

p0 + p1 + p2 + … + pm + pm+1 = 1.

Введемо позначення r = l / m, отримуємо імовірність вільного каналу:

р0 = 1 / ( 1 + r + r2 + … + rm+1 ) = (1 - r ) / ( 1 - rm+2 );

pk = rk × p0,

де k = 1,2,3,…m+1.

Імовірність відмови - pm+1.

Середня кількість замовлень у черзі:

де pk - імовірність того, що у черзі знаходиться k-1 замовлення.

Середній час очікування у черзі : Wq=Lq / l.

Нехай інтенсивність прибуття машин l = 2,5, а інтенсивність обслуговування m = 1,5.

За результатами розрахунків у програмі MathCad отримуємо r = l / m = 1,667.

Якщо кількість місць у черзі m = 1, то імовірність відмови pm+1 = 62,5%, а середній час очікування у черзі дорівнює 0,25 хвилин.

Якщо кількість місць у черзі m = 6 то імовірність відмови pm+1 = 41,2%, а середній час очікування у черзі дорівнює 2,5 хвилин.

Видно, що якщо r > 1, то при великих m імовірність відмови стабілізується і стає рівною ( r - 1 ) / r.

Щоб суттєво знизити імовірність відмови, необхідно ( якщо неможна зменшити r) преходити до багатоканальної системи, тобто робити декілька площадок для розвантаження.