Пределы функций

Определим понятие окрестности точки х0 как множество значений х, являющихся решениями неравенства 0<|x - x0| < δ, где δ > 0 – некоторое число. Само значение х0 может включаться в окрестность или не включаться в нее (в этом случае окрестность называется проколотой).

Пусть функция у = f(x) определена в некоторой окрестности точки х0.

Определение 13.7. Число А называется пределом функции у = f(x) при х, стремящемся к х0, если Пределы функций - №1 - открытая онлайн библиотекаПределы функций - №2 - открытая онлайн библиотекатакое, что |f(x) - A| < ε при |x - x0| < δ.

Обозначение: Пределы функций - №3 - открытая онлайн библиотека.

Замечание. Для существования предела функции в точке х0 не требуется, чтобы функция была определена в самой этой точке.

Примеры.

  1. Докажем, что Пределы функций - №4 - открытая онлайн библиотекаЕсли |2x+1-7| < ε, то |2x - 6| < ε, |x - 3| < ε/2. Таким образом, если принять δ(ε) = ε/2, то выполнены все условия определения предела. Утверждение доказано.
  2. Пределы функций - №5 - открытая онлайн библиотекаЗаметим, что в проколотой окрестности х=2 Пределы функций - №6 - открытая онлайн библиотекапоэтому мы имеем право сократить дробь на (х - 2).

Определение 13.8. Функция у = f(x) имеет бесконечный пределпри х, стремящемуся к х0 (стремится к бесконечности, является бесконечно большой), если Пределы функций - №7 - открытая онлайн библиотекаПределы функций - №8 - открытая онлайн библиотекатакое, что |f(x)| > M при |x - x0| < δ.

Обозначение: Пределы функций - №9 - открытая онлайн библиотека

Определение 13.9. Число А называется пределом функции y = f(x) на бесконечности, если Пределы функций - №1 - открытая онлайн библиотекаПределы функций - №11 - открытая онлайн библиотекапри x > X (Пределы функций - №12 - открытая онлайн библиотека), при x < -X (Пределы функций - №13 - открытая онлайн библиотека), при |x| > X (Пределы функций - №14 - открытая онлайн библиотека

Замечание. Бесконечный предел функции на бесконечности можно определить по аналогии с определением 13.8.

Определение 13.10. Функция у = f(x) называется ограниченнойв некоторой области значений х, если существует число М>0 такое, что |f(x)|<M для всех значений х, принадлежащих рассматриваемой области.

Свойства пределов.

1. Если существует Пределы функций - №3 - открытая онлайн библиотека(А – конечное число), то функция у = f(x) является ограниченной в некоторой окрестности (возможно, проколотой) точки х0.

Доказательство. Так как для любого ε существует такое δ, что |f(x) - A| < ε при |x - x0| < δ, то при этом |f(x)| < |A| + ε, то есть функция ограничена в рассматриваемой окрестности.

2. Функция не может иметь двух различных пределов при х, стремящемуся к одному и тому же значению.

Доказательство. Пусть А и В – пределы f(x) при х→х0. Выберем ε < |A-B|. Тогда существует такое δ1, что |f(x)-A|<ε/2 при |x - x0| < δ1, и такое δ2, что |f(x)-B|<ε/2 при |x - x0| < δ2. Если выбрать в качестве δ меньшее из чисел δ1 и δ2, то значения функции f(x) для аргументов, лежащих в δ – окрестности х0, должны одновременно находиться в двух непересекающихся окрестностях, что невозможно. Утверждение доказано.



  1. Если Пределы функций - №3 - открытая онлайн библиотекаи АПределы функций - №17 - открытая онлайн библиотека, то существует окрестность точки х0, в которой функция f(x) сохраняет постоянный знак ( f(x)>0, если A > 0, и f(x)<0, если A < 0).

Доказательство. Достаточно выбрать ε=|A|/2. Тогда для х из некоторой окрестности х0 |f(x)-A| < |A|/2, то есть А/2 <f(x) <3A/2 при A > 0 и 3A/2 < f(x) < A/2 при A < 0. Следовательно, в выбранной окрестности f(x) сохраняет постоянный знак.